ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 526 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Постройте три точки A, B и C такие, что:

1) \(\vec{AB} = 2\vec{AC}\); 2) \(\vec{AB} = -3\vec{AC}\); 3) \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}\); 4) \(\vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC}\).

Краткий ответ:

1) Пусть \( A = (0,0) \), \( C = (1,0) \). Тогда \( \vec{AC} = (1,0) \), и \( \vec{AB} = 2\vec{AC} = (2,0) \), значит \( B = (2,0) \).

2) Пусть \( A = (0,0) \), \( C = (1,0) \). Тогда \( \vec{AC} = (1,0) \), и \( \vec{AB} = -3\vec{AC} = (-3,0) \), значит \( B = (-3,0) \).

3) Пусть \( A = (0,0) \), \( B = (2,0) \). Тогда \( \vec{AB} = (2,0) \), и \( \vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB} = (1,0) \), значит \( C = B + \vec{BC} = (3,0) \).

4) Пусть \( B = (4,0) \), \( C = (c_x, 0) \). Тогда \( \vec{BC} = (c_x — 4, 0) \), и \( \vec{AC} = (c_x, 0) = -\frac{1}{3}\vec{BC} = -\frac{1}{3}(c_x — 4, 0) \). Значит \( c_x = -\frac{1}{3}(c_x — 4) \), откуда \( 3c_x = -(c_x — 4) \), \( 3c_x = -c_x + 4 \), \( 4c_x = 4 \), \( c_x = 1 \). Тогда \( C = (1,0) \).

Подробный ответ:

Пусть точка \( A \) находится в начале координат, то есть \( A = (0,0) \).

Для первого условия \( \vec{AB} = 2\vec{AC} \) обозначим координаты точки \( C \) как \( (x,y) \). Тогда вектор \( \vec{AC} = (x,y) \). По условию вектор \( \vec{AB} \) в два раза длиннее и направлен так же, значит \( \vec{AB} = (2x, 2y) \). Следовательно, координаты точки \( B \) будут \( (2x, 2y) \). Например, если взять \( C = (1,0) \), то \( B = (2,0) \).

Для второго условия \( \vec{AB} = -3\vec{AC} \) снова возьмём \( A = (0,0) \) и \( C = (x,y) \). Тогда \( \vec{AC} = (x,y) \), а \( \vec{AB} = (-3x, -3y) \), так как вектор \( \vec{AB} \) направлен противоположно вектору \( \vec{AC} \) и в три раза длиннее. Значит, \( B = (-3x, -3y) \). Например, если \( C = (1,0) \), то \( B = (-3,0) \).

Для третьего условия \( \vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB} \) обозначим координаты точки \( B \) как \( (b_x, b_y) \). Тогда \( \vec{AB} = (b_x, b_y) \). По условию \( \vec{BC} = \frac{1}{2}(b_x, b_y) = \left(\frac{b_x}{2}, \frac{b_y}{2}\right) \). Вектор \( \vec{BC} \) равен \( \vec{C} — \vec{B} \), значит \( \vec{C} = \vec{B} + \vec{BC} = \left(b_x + \frac{b_x}{2}, b_y + \frac{b_y}{2}\right) = \left(\frac{3b_x}{2}, \frac{3b_y}{2}\right) \). Например, если \( B = (2,0) \), то \( C = (3,0) \).

Для четвёртого условия \( \vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC} \) обозначим координаты \( B = (b_x, b_y) \) и \( C = (c_x, c_y) \). Вектор \( \vec{BC} = (c_x — b_x, c_y — b_y) \), а \( \vec{AC} = (c_x, c_y) \) так как \( A = (0,0) \). По условию \( (c_x, c_y) = -\frac{1}{3}(c_x — b_x, c_y — b_y) \). Распишем по координатам: \( c_x = -\frac{1}{3}(c_x — b_x) \) и \( c_y = -\frac{1}{3}(c_y — b_y) \). Умножим обе части на 3: \( 3c_x = -(c_x — b_x) \) и \( 3c_y = -(c_y — b_y) \). Раскроем скобки: \( 3c_x = -c_x + b_x \), \( 3c_y = -c_y + b_y \). Перенесём \( -c_x \) и \( -c_y \) в левую часть: \( 3c_x + c_x = b_x \), \( 3c_y + c_y = b_y \), то есть \( 4c_x = b_x \), \( 4c_y = b_y \). Следовательно, \( c_x = \frac{b_x}{4} \), \( c_y = \frac{b_y}{4} \). Например, если \( B = (4,0) \), то \( C = (1,0) \).

Оцени решение