ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 529 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Начертите треугольник ABC. Постройте вектор, равный вектору \(\frac{1}{3}\vec{AC}\), так, чтобы его начало принадлежало стороне AB, а конец — стороне BC.

Пусть \(A = (0,0)\), \(B = (0,3)\), \(C = (3,0)\).

Точка \(E\) делит \(AB\) так, что \(BE : AE = 1 : 2\), значит \(E = (0,2)\).

Точка \(F\) делит \(BC\) так, что \(BF : CF = 1 : 2\), значит \(F = (1,2)\).

Вектор \(\vec{AC} = (3,0)\).

Вектор \(\vec{EF} = (1,0)\).

Проверяем: \(\vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{AC}\).

Ответ: \(E = (0,2)\), \(F = (1,2)\), \(\vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{AC}\).

Рассмотрим треугольник с вершинами \(A = (0,0)\), \(B = (0,3)\), \(C = (3,0)\).

Точка \(E\) лежит на отрезке \(AB\), который является вертикальным отрезком от \(0\) до \(3\) по оси \(y\). Пусть \(E = (0,y_E)\).

По условию \(BE : AE = 1 : 2\). Длина отрезка \(AB\) равна 3, значит \(BE = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1\), а \(AE = 2\).

Так как \(B = (0,3)\), точка \(E\) находится на расстоянии 1 вниз от \(B\), следовательно, \(y_E = 3 — 1 = 2\).

Значит, \(E = (0,2)\).

Теперь найдём точку \(F\) на отрезке \(BC\). Пусть \(F = (x_F, y_F)\).

Отрезок \(BC\) соединяет точки \(B = (0,3)\) и \(C = (3,0)\), уравнение прямой: \(y = 3 — x\).

По условию \(BF : CF = 1 : 2\).

Длина отрезка \(BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).

Длина \(BF = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{2} = \sqrt{2}\).

Расстояние \(BF = \sqrt{(x_F — 0)^2 + (y_F — 3)^2} = \sqrt{x_F^2 + (3 — x_F — 3)^2} = \sqrt{x_F^2 + (-x_F)^2} =\)
\(= \sqrt{2 x_F^2} = x_F \sqrt{2}\).

Приравниваем: \(x_F \sqrt{2} = \sqrt{2}\), откуда \(x_F = 1\).

Тогда \(y_F = 3 — x_F = 3 — 1 = 2\), значит \(F = (1,2)\).

Вычислим вектор \(\vec{AC} = (3 — 0, 0 — 0) = (3,0)\).

Вектор \(\vec{EF} = (x_F — 0, y_F — y_E) = (1 — 0, 2 — 2) = (1,0)\).

Проверим равенство: \(\vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{AC}\).

Вычислим \(\frac{1}{3} \vec{AC} = \left(\frac{1}{3} \cdot 3, \frac{1}{3} \cdot 0\right) = (1,0)\).

Таким образом, \(\vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{AC}\), что соответствует условию.

Итог: \(E = (0,2)\), \(F = (1,2)\), \(\vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{AC}\).