ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 53 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, а угол между этими сторонами составляет \(60^\circ\). Докажите, что данный треугольник является прямоугольным.

Краткий ответ:

В треугольнике \( \triangle ABC \) известно, что \( AB = 2 AC \) и угол \( \angle BAC = 60^\circ \). По теореме косинусов: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ \). Подставляем: \( BC^2 = (2 AC)^2 + AC^2 — 2 \cdot 2 AC \cdot AC \cdot \frac{1}{2} = 4 AC^2 + AC^2 — 2 AC^2 = 3 AC^2 \), значит \( BC = \sqrt{3} AC \).

Для угла \( \angle C \) по теореме косинусов: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C \). Подставляем: \( (2 AC)^2 = AC^2 + (\sqrt{3} AC)^2 — 2 \cdot AC \cdot \sqrt{3} AC \cdot \cos \angle C \), что даёт \( 4 AC^2 = AC^2 + 3 AC^2 — 2 \sqrt{3} AC^2 \cdot \cos \angle C \), или \( 4 AC^2 = 4 AC^2 — 2 \sqrt{3} AC^2 \cdot \cos \angle C \).

Вычитаем \( 4 AC^2 \): \( 0 = — 2 \sqrt{3} AC^2 \cdot \cos \angle C \). Значит, \( \cos \angle C = 0 \), следовательно, \( \angle C = 90^\circ \).

Подробный ответ:

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), в котором известно, что сторона \( AB \) в два раза длиннее стороны \( AC \), то есть \( AB = 2 AC \). Также известно, что угол между этими сторонами, угол \( \angle BAC \), равен \( 60^\circ \). Нам необходимо доказать, что угол \( \angle C \) является прямым, то есть равен \( 90^\circ \).

Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других сторон и угол между ними. Применим теорему косинусов к стороне \( BC \), которая противоположна углу \( \angle BAC \). Теорема гласит, что квадрат длины стороны \( BC \) равен сумме квадратов длин сторон \( AB \) и \( AC \), минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \). Подставим известные значения: \( AB = 2 AC \) и \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). Тогда получаем \( BC^2 = (2 AC)^2 + AC^2 — 2 \cdot 2 AC \cdot AC \cdot \frac{1}{2} \). Раскроем скобки и произведения: \( BC^2 = 4 AC^2 + AC^2 — 2 AC^2 = 3 AC^2 \). Значит, длина стороны \( BC \) равна \( BC = \sqrt{3} \cdot AC \).

Теперь рассмотрим угол \( \angle C \) и применим теорему косинусов к стороне \( AB \), которая противоположна этому углу. По теореме косинусов \( AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C \). Подставим в это выражение известные длины \( AB = 2 AC \), \( BC = \sqrt{3} AC \), тогда уравнение принимает вид \( (2 AC)^2 = AC^2 + (\sqrt{3} AC)^2 — 2 \cdot AC \cdot \sqrt{3} AC \cdot \cos \angle C \). Раскроем степени и произведения: \( 4 AC^2 = AC^2 + 3 AC^2 — 2 \sqrt{3} AC^2 \cdot \cos \angle C \), что упрощается до \( 4 AC^2 = 4 AC^2 — 2 \sqrt{3} AC^2 \cdot \cos \angle C \).

Вычтем \( 4 AC^2 \) с обеих сторон уравнения, получим \( 0 = — 2 \sqrt{3} AC^2 \cdot \cos \angle C \). Поскольку длина стороны \( AC \) не равна нулю, то произведение равно нулю только при условии, что \( \cos \angle C = 0 \). Косинус угла равен нулю только при угле \( 90^\circ \), следовательно, \( \angle C = 90^\circ \). Таким образом, угол \( \angle C \) является прямым, что и требовалось доказать.

Оцени решение