ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 532 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ненулевые векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются сонаправленными или противоположно направленными, если: 1) \(\vec{b} = 2\vec{a}\); 2) \(\vec{a} = -\frac{1}{3}\vec{b}\); 3) \(\vec{b} = \sqrt{2}\vec{a}\)? Найдите отношение \(\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\).

Даны два вектора \( \vec{a} \neq \vec{0} \), \( \vec{b} \neq \vec{0} \).

1) Если \( \vec{b} = 2 \vec{a} \), тогда \( 2 > 0 \), значит векторы сонаправлены. Отношение длин: \( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{|2 \vec{a}|} = \frac{1}{2} \).

2) Если \( \vec{a} = -\frac{1}{3} \vec{b} \), тогда \( -\frac{1}{3} < 0 \), векторы противоположно направлены. Отношение длин: \( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{\frac{1}{3} |\vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3} \).

3) Если \( \vec{b} = \sqrt{2} \vec{a} \), тогда \( \sqrt{2} > 0 \), векторы сонаправлены. Отношение длин: \( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{|\sqrt{2} \vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Пусть даны два вектора \( \vec{a} \neq \vec{0} \) и \( \vec{b} \neq \vec{0} \).

Рассмотрим первый случай: \( \vec{b} = 2 \vec{a} \). Это значит, что вектор \( \vec{b} \) получается умножением вектора \( \vec{a} \) на положительное число 2. Поскольку множитель положительный, векторы направлены в одну сторону, то есть они сонаправлены. Чтобы найти отношение длин векторов, вычислим \( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} \). Так как длина вектора умноженного на число равна произведению модуля числа на длину вектора, то \( |\vec{b}| = |2 \vec{a}| = 2 |\vec{a}| \). Следовательно,

\( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{2 |\vec{a}|} = \frac{1}{2} \).

Во втором случае: \( \vec{a} = -\frac{1}{3} \vec{b} \). Здесь вектор \( \vec{a} \) равен вектору \( \vec{b} \), умноженному на отрицательное число \(-\frac{1}{3}\). Отрицательный множитель означает, что векторы направлены в противоположные стороны, то есть они противоположно направлены. Чтобы найти отношение длин, вычислим \( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} \). Модуль вектора умноженного на число равен модулю числа, умноженному на длину вектора, то есть

\( |\vec{a}| = \left| -\frac{1}{3} \right| |\vec{b}| = \frac{1}{3} |\vec{b}| \).

Отсюда

\( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{\frac{1}{3} |\vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3} \).

В третьем случае: \( \vec{b} = \sqrt{2} \vec{a} \). Множитель \( \sqrt{2} \) положительный, значит векторы сонаправлены. Длина вектора \( \vec{b} \) равна

\( |\vec{b}| = |\sqrt{2} \vec{a}| = \sqrt{2} |\vec{a}| \).

Отношение длин векторов будет

\( \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2} |\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \), получая

\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Таким образом, для каждого случая мы определили направление векторов и нашли отношение их длин.