ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 538 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Выразите: 1) вектор \(\vec{MN}\) через вектор \(\vec{CA}\); 2) вектор \(\vec{AC}\) через вектор \(\vec{MN}\).

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC, значит AM = MB и BN = NC.

1) Отрезок MN — средняя линия, она параллельна AC и равна половине AC, следовательно
\( MN \parallel AC \) и \( MN = \frac{1}{2} AC \).
Вектор \( \vec{MN} \) направлен в сторону от M к N, а вектор \( \vec{CA} \) — от C к A, это противоположные направления, значит
\( \vec{MN} = -\frac{1}{2} \vec{CA} \).

2) Из первого равенства выразим \( \vec{AC} \) через \( \vec{MN} \):
\( \vec{AC} = 2 \vec{MN} \).

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC. Это значит, что отрезок AM равен отрезку MB, а отрезок BN равен отрезку NC. То есть \( AM = MB \) и \( BN = NC \).

Поскольку M и N — середины сторон, отрезок MN называется средней линией треугольника. Из свойства средней линии известно, что она параллельна третьей стороне треугольника и равна половине её длины. В данном случае средняя линия MN параллельна стороне AC и равна половине её длины. Значит, \( MN \parallel AC \) и \( MN = \frac{1}{2} AC \).

Рассмотрим векторы. Вектор \( \vec{CA} \) направлен от точки C к точке A, а вектор \( \vec{MN} \) направлен от точки M к точке N. Поскольку MN параллельна AC, но направлены они в противоположные стороны, то вектор \( \vec{MN} \) равен минус половине вектора \( \vec{CA} \):
\( \vec{MN} = -\frac{1}{2} \vec{CA} \).

Теперь выразим вектор \( \vec{AC} \) через вектор \( \vec{MN} \). Из предыдущего равенства получаем:
\( \vec{AC} = -2 \vec{MN} \).