ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 54 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен \(120^\circ\).

Дано: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 + AB \cdot BC \)

По теореме косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \)

Приравниваем: \( AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B = AB^2 + BC^2 + AB \cdot BC \)

Упрощаем: \( — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B = AB \cdot BC \)

Делим на \( AB \cdot BC \): \( — 2 \cos \angle B = 1 \)

Получаем: \( \cos \angle B = — \frac{1}{2} \)

Значит: \( \angle B = 120^\circ \)

Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором нам дано равенство для стороны \(AC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2 + AB \cdot BC\). Это выражение немного отличается от привычной формулы из теоремы Пифагора, где обычно \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) для прямоугольного треугольника. Здесь дополнительно стоит слагаемое \(AB \cdot BC\), что указывает на особое расположение угла при вершине \(B\).

Для того чтобы понять, чему равен угол \(B\), применим теорему косинусов. Она гласит, что квадрат стороны, лежащей напротив угла \(B\), равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. То есть: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Это универсальная формула, которая работает для любых треугольников и позволяет находить углы по известным сторонам.

Теперь подставим в эту формулу выражение, которое нам дано в условии: \(AB^2 + BC^2 + AB \cdot BC = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Упростим это уравнение, вычтя \(AB^2 + BC^2\) с обеих сторон, получим: \(AB \cdot BC = — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Разделим обе части равенства на \(AB \cdot BC\) (при условии, что эти длины не равны нулю), и получим простое уравнение: \(1 = — 2 \cos \angle B\). Отсюда следует, что \(\cos \angle B = — \frac{1}{2}\).

Значение косинуса \(- \frac{1}{2}\) известно из тригонометрии и соответствует углу \(120^\circ\). Это значит, что угол при вершине \(B\) в нашем треугольнике равен \(120^\circ\), что подтверждает необычное соотношение сторон, заданное в условии. Таким образом, мы доказали, что если \(AC^2 = AB^2 + BC^2 + AB \cdot BC\), то угол \(B\) обязательно равен \(120^\circ\).