ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 545 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах AB и AC треугольника ABC отметили соответственно точки M и N так, что AM : MB = AN : NC = 1 : 2. Выразите вектор \(\vec{MN}\) через вектор \(\vec{CB}\).

Дано: \( AM : MB = 1 : 2 \), \( AN : NC = 1 : 2 \).

Тогда \( AM = \frac{1}{3} AB \), \( AN = \frac{1}{3} AC \).

Треугольники \( \triangle AMN \) и \( \triangle ABC \) подобны с коэффициентом \( \frac{1}{3} \).

Значит \( \frac{MN}{BC} = \frac{1}{3} \), то есть \( MN = \frac{1}{3} BC \).

Вектор \( \vec{MN} \) направлен от \( M \) к \( N \), а вектор \( \vec{CB} \) от \( C \) к \( B \), поэтому \( \vec{MN} = -\frac{1}{3} \vec{CB} \).

Ответ: \( \vec{MN} = -\frac{1}{3} \vec{CB} \).

В треугольнике \( ABC \) точка \( M \) делит сторону \( AB \) в отношении \( AM : MB = 1 : 2 \). Это значит, что длина отрезка \( AM \) равна одной трети длины \( AB \), то есть \( AM = \frac{1}{3} AB \).

Аналогично, точка \( N \) делит сторону \( AC \) в отношении \( AN : NC = 1 : 2 \). Значит, \( AN = \frac{1}{3} AC \).

Теперь рассмотрим треугольники \( AMN \) и \( ABC \). Поскольку точки \( M \) и \( N \) делят стороны \( AB \) и \( AC \) в одинаковом отношении, треугольник \( AMN \) подобен треугольнику \( ABC \) с коэффициентом подобия \( \frac{1}{3} \).

Из подобия следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Значит, сторона \( MN \) треугольника \( AMN \) равна одной трети стороны \( BC \) треугольника \( ABC \), то есть \( MN = \frac{1}{3} BC \).

Теперь рассмотрим направление векторов. Вектор \( \vec{CB} \) направлен от точки \( C \) к точке \( B \), а вектор \( \vec{MN} \) направлен от точки \( M \) к точке \( N \). По расположению точек направление вектора \( \vec{MN} \) противоположно направлению вектора \( \vec{CB} \).

Поэтому вектор \( \vec{MN} \) равен минус одной трети вектора \( \vec{CB} \), то есть \( \vec{MN} = -\frac{1}{3} \vec{CB} \).

Ответ: \( \vec{MN} = -\frac{1}{3} \vec{CB} \).