ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 546 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки O, A и B лежат на одной прямой. Докажите, что существует такое число k, что \(\vec{OA} = k \cdot \vec{OB}\).

Даны точки \( O, A, B \) на одной прямой.

1) Если \( A \in OB \), то \( \vec{OA} = \frac{OA}{OB} \cdot \vec{OB} \), \( k = \frac{OA}{OB} \).

2) Если \( B \in OA \), то \( \vec{OA} = \frac{OA}{OB} \cdot \vec{OB} \), \( k = \frac{OA}{OB} \).

3) Если \( O \in AB \), то \( \vec{OA} = -\frac{OA}{OB} \cdot \vec{OB} \), \( k = -\frac{OA}{OB} \).

Что и требовалось доказать.

Пусть точки \( O, A, B \) лежат на одной прямой. Значит, все три точки расположены по порядку на одной линии. Рассмотрим три возможных случая расположения точки \( A \) относительно \( O \) и \( B \).

В первом случае точка \( A \) лежит между \( O \) и \( B \). Тогда вектор \( \vec{OA} \) направлен в ту же сторону, что и вектор \( \vec{OB} \). Длина отрезка \( OA \) меньше длины отрезка \( OB \). Значит, можно записать, что \( \vec{OA} = \frac{OA}{OB} \cdot \vec{OB} \). Здесь число \( k = \frac{OA}{OB} \) — положительное число меньше единицы.

Во втором случае точка \( B \) лежит между \( O \) и \( A \). Тогда точка \( A \) дальше от \( O \), чем точка \( B \). Векторы \( \vec{OA} \) и \( \vec{OB} \) направлены в одну сторону, но длина \( OA \) больше длины \( OB \). Тогда можно записать \( \vec{OA} = \frac{OA}{OB} \cdot \vec{OB} \), где число \( k = \frac{OA}{OB} \) — положительное число больше единицы.

В третьем случае точка \( O \) лежит между \( A \) и \( B \). Тогда векторы \( \vec{OA} \) и \( \vec{OB} \) направлены в противоположные стороны. Длина отрезка \( OA \) и длина отрезка \( OB \) положительны, но направления векторов разные. Значит, \( \vec{OA} = -\frac{OA}{OB} \cdot \vec{OB} \), где число \( k = -\frac{OA}{OB} \) — отрицательное число.

Таким образом, в любом случае существует число \( k \), такое что \( \vec{OA} = k \cdot \vec{OB} \). Это доказывает, что векторы коллинеарны.