ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 547 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что AM : MB = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1. Выразите вектор \(\vec{NM}\) через векторы \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\).
В параллелограмме \(ABCD\) векторы сторон: \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\).
Точка \(M\) делит \(AB\) в отношении \(1:2\), значит \(\vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{a}\).
Точка \(N\) делит \(BC\) в отношении \(2:1\). Вектор \(BC = \vec{b}\), значит \(\vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{b}\).
Тогда \(\vec{OM} = \frac{1}{3} \vec{a}\), \(\vec{ON} = \vec{AB} + \vec{BN} = \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}\).
Вектор \(\vec{NM} = \vec{OM} — \vec{ON} = \frac{1}{3} \vec{a} — \left(\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}\right) = \frac{1}{3} \vec{a} — \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b} = -\frac{2}{3} \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b}\).
Пусть \(O\) — точка \(A\), тогда \(\vec{OA} = \vec{0}\).
Вектор \(\vec{AB} = \vec{a}\), вектор \(\vec{AD} = \vec{b}\).
Точка \(M\) делит сторону \(AB\) в отношении \(1 : 2\), значит длина отрезка \(AM\) составляет \(\frac{1}{3}\) от длины \(AB\).
Следовательно, вектор \(\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \vec{0} + \frac{1}{3} \vec{a} = \frac{1}{3} \vec{a}\).
Точка \(N\) делит сторону \(BC\) в отношении \(2 : 1\), то есть длина отрезка \(BN\) составляет \(\frac{2}{3}\) от длины \(BC\).
Вектор \(BC\) можно выразить через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Поскольку \(BC = \vec{BA} + \vec{AC}\), то
\(\vec{BA} = -\vec{a}\), а \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\).
Отсюда \(\vec{BC} = \vec{b}\).
Тогда вектор \(\vec{ON} = \vec{OB} + \vec{BN} = \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}\).
Вектор \(\vec{NM} = \vec{OM} — \vec{ON} = \frac{1}{3} \vec{a} — \left(\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}\right) = \frac{1}{3} \vec{a} — \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b} = -\frac{2}{3} \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b}\).
