ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 548 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки E и F так, что BE : EC = 3 : 1, CF : FD = 1 : 3. Выразите вектор \(\vec{EF}\) через векторы \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\).

В параллелограмме \(ABCD\) векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \). Вектор \( \vec{BD} = \vec{b} — \vec{a} \).

Точка \(E\) делит сторону \(BC\) в отношении \(3:1\), значит \( \vec{BE} = \frac{3}{4} \vec{BC} = \frac{3}{4} \vec{b} \).

Точка \(F\) делит сторону \(CD\) в отношении \(1:3\), значит \( \vec{CF} = \frac{1}{4} \vec{CD} = \frac{1}{4} (-\vec{a}) = -\frac{1}{4} \vec{a} \).

Вектор \( \vec{EF} = \vec{OF} — \vec{OE} = \left(\vec{a} + \vec{b} — \frac{1}{4} \vec{a}\right) — \left(\vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}\right) = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} — \vec{a} -\)
\( -\frac{3}{4} \vec{b} = -\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \).

Ответ: \( \vec{EF} = \frac{1}{4} \vec{b} — \frac{1}{4} \vec{a} \).

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм с векторами сторон \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \).

Вектор \( \vec{BD} \) можно выразить через \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) так: \( \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} — \vec{a} \).

Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\) и делит её в отношении \(BE : EC = 3 : 1\). Значит, \(E\) находится на расстоянии \( \frac{3}{4} \) от точки \(B\) к точке \(C\).

Вектор \( \vec{BC} \) равен \( \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{a} + (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{b} \). Тогда вектор \( \vec{BE} = \frac{3}{4} \vec{b} \).

Положение точки \(E\) относительно начала координат \(A\) будет: \( \vec{OE} = \vec{OB} + \vec{BE} = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \).

Точка \(F\) лежит на стороне \(CD\) и делит её в отношении \(CF : FD = 1 : 3\). Значит, \(F\) находится на расстоянии \( \frac{1}{4} \) от точки \(C\) к точке \(D\).

Вектор \( \vec{CD} = \vec{CB} + \vec{BD} = -\vec{b} + (\vec{b} — \vec{a}) = -\vec{a} \). Тогда \( \vec{CF} = \frac{1}{4} \vec{CD} = -\frac{1}{4} \vec{a} \).

Положение точки \(F\) относительно начала координат \(A\) будет: \( \vec{OF} = \vec{OC} + \vec{CF} = (\vec{a} + \vec{b}) — \frac{1}{4} \vec{a} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} \).

Вектор \( \vec{EF} \) равен разности векторов \( \vec{OF} \) и \( \vec{OE} \): \( \vec{EF} = \vec{OF} — \vec{OE} = \left(\frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b}\right) — \left(\vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}\right) = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} — \vec{a} — \frac{3}{4} \vec{b} \).

Упростим: \( \vec{EF} = -\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \).

Ответ: \( \vec{EF} = \frac{1}{4} \vec{b} — \frac{1}{4} \vec{a} \).