ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 549 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) коллинеарны, если A (1; 1), B (3; -2), C (-1; 3), D (5; -6).

Краткий ответ:

Даны точки: \(A(1; 1)\), \(B(3; -2)\), \(C(-1; 3)\), \(D(5; -6)\).

Координаты вектора \(\vec{AB}\): \(x = 3 — 1 = 2\), \(y = -2 — 1 = -3\).

Координаты вектора \(\vec{CD}\): \(x = 5 — (-1) = 6\), \(y = -6 — 3 = -9\).

Проверяем коллинеарность:

\[
k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad k = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}
\]

Значит, \(\vec{AB} = \frac{1}{3} \vec{CD}\), векторы коллинеарны. Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Даны точки \(A(1; 1)\), \(B(3; -2)\), \(C(-1; 3)\), \(D(5; -6)\).

Сначала найдём координаты вектора \(\vec{AB}\). Для этого вычитаем координаты точки \(A\) из координат точки \(B\): \(x\)-координата равна \(3 — 1 = 2\), \(y\)-координата равна \(-2 — 1 = -3\). Значит, \(\vec{AB} = (2; -3)\).

Далее найдём координаты вектора \(\vec{CD}\). Вычитаем координаты точки \(C\) из координат точки \(D\): \(x\)-координата равна \(5 — (-1) = 6\), \(y\)-координата равна \(-6 — 3 = -9\). Значит, \(\vec{CD} = (6; -9)\).

Чтобы проверить, коллинеарны ли векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), нужно проверить, существует ли число \(k\), при котором \(\vec{AB} = k \vec{CD}\).

Найдём коэффициенты \(k\) по каждой координате:

Для \(x\)-координаты: \(k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Для \(y\)-координаты: \(k = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}\).

Так как коэффициенты равны, то векторы коллинеарны и связаны отношением \(\vec{AB} = \frac{1}{3} \vec{CD}\).

Таким образом, доказано, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) коллинеарны.

Оцени решение