ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 55 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату разности двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен \(60^\circ\)

Дано:
\(AC^2 = AB^2 — AB \cdot BC + BC^2\)
Доказать: \(\angle B = 60^\circ\)

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \) и применим теорему косинусов:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\)

Подставим данное равенство:
\(AB^2 — AB \cdot BC + BC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\)

Вычислим:
\(- AB \cdot BC = — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\)

Разделим обе части на \(- AB \cdot BC\):
\(1 = 2 \cos \angle B\)

Отсюда:
\(\cos \angle B = \frac{1}{2}\)

Значит:
\(\angle B = 60^\circ\)

Что и требовалось доказать.

В треугольнике \( \triangle ABC \) нам дано равенство \( AC^2 = AB^2 — AB \cdot BC + BC^2 \). Это выражение связывает длины сторон треугольника. Чтобы понять, чему равен угол \( \angle B \), нужно воспользоваться теоремой косинусов, которая помогает найти угол между двумя сторонами, если известны все три стороны. Теорема косинусов гласит, что квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае это записывается так: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).

Теперь мы сравним это с данным в условии равенством. Подставим в формулу теоремы косинусов значение \( AC^2 \) из условия:
\( AB^2 — AB \cdot BC + BC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).
Упростим обе части, вычтем \( AB^2 + BC^2 \) слева и справа:
\( — AB \cdot BC = — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).

Далее разделим обе части на \( — AB \cdot BC \), при условии, что \( AB \neq 0 \) и \( BC \neq 0 \), чтобы получить:
\( 1 = 2 \cos \angle B \).
Отсюда следует, что
\( \cos \angle B = \frac{1}{2} \).

Из знания тригонометрии известно, что угол, косинус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен \( 60^\circ \). Значит, угол \( \angle B \) в треугольнике равен \( 60^\circ \). Таким образом, используя теорему косинусов и данное равенство, мы доказали, что угол \( \angle B \) обязательно равен \( 60^\circ \).