ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 557 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A (-1; 2), B (3; 5), C (14; 6), D (2; -3) является трапецией.

Краткий ответ:

Даны точки \(A(-1; 2)\), \(B(3; 5)\), \(C(14; 6)\), \(D(2; -3)\).

Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

\(x_{AB} = 3 — (-1) = 4\), \(y_{AB} = 5 — 2 = 3\);

\(x_{CD} = 14 — 2 = 12\), \(y_{CD} = 6 — (-3) = 9\);

\(\frac{x_{AB}}{x_{CD}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), \(\frac{y_{AB}}{y_{CD}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\);

Векторы коллинеарны.

Векторы \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\(x_{AD} = 2 — (-1) = 3\), \(y_{AD} = -3 — 2 = -5\);

\(x_{BC} = 14 — 3 = 11\), \(y_{BC} = 6 — 5 = 1\);

\(\frac{x_{AD}}{x_{BC}} = \frac{3}{11}\), \(\frac{y_{AD}}{y_{BC}} = \frac{-5}{1} = -5\);

Векторы не коллинеарны.

В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AB \parallel CD\), \(AD \not\parallel BC\);

Значит, \(ABCD\) — трапеция. Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Даны точки \(A(-1; 2)\), \(B(3; 5)\), \(C(14; 6)\), \(D(2; -3)\).

Найдём координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \). Для этого из координат точки \(B\) вычтем координаты точки \(A\):
\(x_{AB} = 3 — (-1) = 4\),
\(y_{AB} = 5 — 2 = 3\).

Найдём координаты вектора \( \overrightarrow{CD} \). Для этого из координат точки \(D\) вычтем координаты точки \(C\):
\(x_{CD} = 2 — 14 = -12\),
\(y_{CD} = -3 — 6 = -9\).

Проверим, параллельны ли векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \). Для этого найдём отношение соответствующих координат:
\(\frac{x_{AB}}{x_{CD}} = \frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}\),
\(\frac{y_{AB}}{y_{CD}} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}\).

Так как эти отношения равны, векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) коллинеарны, то есть параллельны.

Теперь найдём координаты вектора \( \overrightarrow{AD} \). Для этого из координат точки \(D\) вычтем координаты точки \(A\):
\(x_{AD} = 2 — (-1) = 3\),
\(y_{AD} = -3 — 2 = -5\).

Найдём координаты вектора \( \overrightarrow{BC} \). Для этого из координат точки \(C\) вычтем координаты точки \(B\):
\(x_{BC} = 14 — 3 = 11\),
\(y_{BC} = 6 — 5 = 1\).

Проверим, параллельны ли векторы \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \). Для этого найдём отношение соответствующих координат:
\(\frac{x_{AD}}{x_{BC}} = \frac{3}{11}\),
\(\frac{y_{AD}}{y_{BC}} = \frac{-5}{1} = -5\).

Так как эти отношения не равны, векторы \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \) не коллинеарны, то есть не параллельны.

Поскольку в четырёхугольнике \(ABCD\) только одна пара противоположных сторон (\(AB\) и \(CD\)) параллельна, а другая пара (\(AD\) и \(BC\)) — нет, то этот четырёхугольник является трапецией.

Что и требовалось доказать.

Оцени решение