ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 56 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см, а одна из диагоналей — 12 см. Найдите вторую диагональ параллелограмма.

Дано: \(AB = 7\), \(AD = 11\), \(BD = 12\). Найти \(AC\).

В треугольнике \(ABD\) по теореме косинусов: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\).

Подставляем: \(12^2 = 7^2 + 11^2 — 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cos \angle A\).

Получаем: \(144 = 49 + 121 — 154 \cos \angle A\).

Отсюда: \(154 \cos \angle A = 170 — 144 = 26\).

Значит: \(\cos \angle A = \frac{13}{77}\).

В параллелограмме \(\angle D = 180^\circ — \angle A\), значит \(\cos \angle D = -\cos \angle A = -\frac{13}{77}\).

В треугольнике \(ADC\) по теореме косинусов: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle D\).

Так как \(CD = AB = 7\), то: \(AC^2 = 11^2 + 7^2 — 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{13}{77}\right)\).

Считаем: \(AC^2 = 121 + 49 + 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot \frac{13}{77} = 170 + 26 = 196\).

Тогда: \(AC = \sqrt{196} = 14\).

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм с \(AB = 7\), \(AD = 11\) и диагональю \(BD = 12\). Нужно найти диагональ \(AC\).

В треугольнике \(ABD\) применим теорему косинусов. По ней сторона \(BD\) связана с сторонами \(AB\) и \(AD\) и углом между ними \(\angle A\) формулой: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\).

Подставим известные значения: \(12^2 = 7^2 + 11^2 — 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cos \angle A\).

Вычислим квадраты: \(144 = 49 + 121 — 154 \cos \angle A\).

Сложим \(49\) и \(121\): \(144 = 170 — 154 \cos \angle A\).

Перенесём \(170\) в левую часть: \(154 \cos \angle A = 170 — 144 = 26\).

Найдём косинус угла: \(\cos \angle A = \frac{26}{154} = \frac{13}{77}\).

В параллелограмме сумма смежных углов равна \(180^\circ\), значит угол \(D = 180^\circ — \angle A\).

Тогда \(\cos \angle D = \cos (180^\circ — \angle A) = -\cos \angle A = -\frac{13}{77}\).

В треугольнике \(ADC\) снова применим теорему косинусов для стороны \(AC\): \(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle D\).

Так как \(CD = AB = 7\), подставим значения: \(AC^2 = 11^2 + 7^2 — 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{13}{77}\right)\).

Вычислим квадраты: \(AC^2 = 121 + 49 + 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot \frac{13}{77}\).

Посчитаем произведение: \(2 \cdot 11 \cdot 7 = 154\).

Вычислим дробь: \(154 \cdot \frac{13}{77} = 2 \cdot 13 = 26\).

Сложим всё: \(AC^2 = 121 + 49 + 26 = 196\).

Найдём длину \(AC\): \(AC = \sqrt{196} = 14\).