ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 560 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. На стороне BC отметили точку K так, что BK : KC = 2 : 3. Выразите вектор \(\vec{OK}\) через векторы \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\).

В параллелограмме ABCD \( \vec{BC} = \vec{b} \), \( \vec{DC} = \vec{a} \), \( \vec{DB} = \vec{a} — \vec{b} \).

Точка O — середина диагонали DB, значит \( \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{a} — \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{a} — \frac{1}{2} \vec{b} \).

Точка K делит BC в отношении 2:3, значит \( \vec{BK} = \frac{2}{5} \vec{b} \).

Тогда \( \vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{a} — \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a} — \frac{1}{10} \vec{b} \).

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, в котором даны векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \).

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \( \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b} \) и \( \vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a} \).

Диагональ \(DB\) можно выразить через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Поскольку \(D\) — начальная точка, а \(B\) — конечная, то \( \vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} \). Вектор \( \vec{DA} \) направлен от \(D\) к \(A\), и это противоположный вектор к \( \vec{AD} \), то есть \( \vec{DA} = -\vec{b} \). Значит \( \vec{DB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} — \vec{b} \).

Точка \(O\) — середина диагонали \(DB\), следовательно, вектор \( \vec{OB} \) равен половине вектора \( \vec{DB} \), то есть \( \vec{OB} = \frac{1}{2} \vec{DB} = \frac{1}{2} (\vec{a} — \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{a} — \frac{1}{2} \vec{b} \).

Точка \(K\) делит сторону \(BC\) в отношении \(2 : 3\), значит вектор \( \vec{BK} \) равен \( \frac{2}{2+3} \) части вектора \( \vec{BC} \), то есть \( \vec{BK} = \frac{2}{5} \vec{b} \).

Чтобы найти вектор \( \vec{OK} \), нужно сложить векторы \( \vec{OB} \) и \( \vec{BK} \), так как \(K\) лежит на продолжении от \(O\) через \(B\):

\( \vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK} = \left(\frac{1}{2} \vec{a} — \frac{1}{2} \vec{b}\right) + \frac{2}{5} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a} — \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{b} \).

Приведём коэффициенты при \( \vec{b} \) к общему знаменателю:

\(-\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = -\frac{5}{10} + \frac{4}{10} = -\frac{1}{10}\).

Итоговый вектор:

\( \vec{OK} = \frac{1}{2} \vec{a} — \frac{1}{10} \vec{b} \).