ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 561 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O так, что AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3. Выразите векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{DA}\) через векторы \(\vec{OA} = \vec{a}\) и \(\vec{OB} = \vec{b}\).

В четырёхугольнике ABCD точка O делит диагонали так, что \( AO : OC = 1 : 2 \) и \( BO : OD = 4 : 3 \). Тогда \( \vec{OC} = -2 \vec{a} \), \( \vec{OD} = -\frac{3}{4} \vec{b} \).

Векторы:

\( \vec{AB} = \vec{OB} — \vec{OA} = \vec{b} — \vec{a} \)

\( \vec{BC} = \vec{OC} — \vec{OB} = -2 \vec{a} — \vec{b} \)

\( \vec{CD} = \vec{OD} — \vec{OC} = 2 \vec{a} — \frac{3}{4} \vec{b} \)

\( \vec{DA} = \vec{OA} — \vec{OD} = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \)

Точка O делит диагональ AC в отношении \( AO : OC = 1 : 2 \). Это значит, что длина отрезка AO в 3 раза меньше всей диагонали AC, так как \( AO + OC = AC \) и \( 1 + 2 = 3 \).

Если вектор \( \vec{OA} = \vec{a} \), то точка C лежит на прямой, проходящей через O и A, но в обратную сторону от A, и длина \( OC \) в 2 раза больше \( AO \). Значит, \( \vec{OC} = -2 \vec{a} \).

Аналогично, точка O делит диагональ BD в отношении \( BO : OD = 4 : 3 \). Это значит, что длина отрезка BO равна \( \frac{4}{7} \) длины BD, а OD — \( \frac{3}{7} \).

Если \( \vec{OB} = \vec{b} \), то точка D лежит на прямой, проходящей через O и B, но в обратную сторону от B, и длина \( OD = \frac{3}{4} \) длины BO. Значит, \( \vec{OD} = -\frac{3}{4} \vec{b} \).

Теперь найдём векторы сторон четырёхугольника:

Вектор \( \vec{AB} = \vec{OB} — \vec{OA} = \vec{b} — \vec{a} \).

Вектор \( \vec{BC} = \vec{OC} — \vec{OB} = -2 \vec{a} — \vec{b} \).

Вектор \( \vec{CD} = \vec{OD} — \vec{OC} = -\frac{3}{4} \vec{b} — (-2 \vec{a}) = 2 \vec{a} — \frac{3}{4} \vec{b} \).

Вектор \( \vec{DA} = \vec{OA} — \vec{OD} = \vec{a} — \left(-\frac{3}{4} \vec{b}\right) = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \).