ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 562 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответственно точки K и F так, что AK : KB = 1 : 2 и BF : FC = 2 : 3. Выразите векторы \(\vec{AC}\), \(\vec{AF}\), \(\vec{KC}\), \(\vec{KF}\) через векторы \(\vec{BK} = \vec{m}\), \(\vec{CF} = \vec{n}\).
Дано: \( AK : KB = 1 : 2 \), \( BF : FC = 2 : 3 \), \( \vec{BK} = \vec{m} \), \( \vec{CF} = \vec{n} \).
\(\vec{BF} = -\frac{2}{3} \vec{n}\)
\(\vec{KF} = \vec{KB} + \vec{BF} = -\vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n}\)
\(\vec{KC} = \vec{KF} + \vec{FC} = -\vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n} + \vec{n} = -\vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n}\)
\(\vec{AK} = -\frac{1}{2} \vec{BK} = -\frac{1}{2} \vec{m}\)
\(\vec{AF} = \vec{AK} + \vec{KF} = -\frac{1}{2} \vec{m} — \vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n} = -\frac{3}{2} \vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n}\)
\(\vec{AC} = \vec{AK} + \vec{KC} = -\frac{1}{2} \vec{m} — \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n} = -\frac{3}{2} \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n}\)
Дано отношение \( AK : KB = 1 : 2 \). Это значит, что точка \( K \) делит отрезок \( AB \) в отношении 1 к 2. Тогда вектор \( \vec{AK} \) равен одной трети вектора \( \vec{AB} \), то есть \( \vec{AK} = \frac{1}{3} \vec{AB} \).
Вектор \( \vec{BK} \) направлен от \( B \) к \( K \), и нам дано, что \( \vec{BK} = \vec{m} \). Значит, \( \vec{AB} = \vec{AK} + \vec{KB} = \vec{AK} — \vec{BK} = \frac{1}{3} \vec{AB} — \vec{m} \). Отсюда следует, что \( \vec{AK} = -\frac{1}{2} \vec{m} \).
Дано отношение \( BF : FC = 2 : 3 \). Это значит, что точка \( F \) делит отрезок \( BC \) в отношении 2 к 3. Тогда вектор \( \vec{BF} = \frac{2}{5} \vec{BC} \).
Вектор \( \vec{CF} \) направлен от \( C \) к \( F \), и нам дано, что \( \vec{CF} = \vec{n} \). Значит, \( \vec{FC} = -\vec{n} \), и \( \vec{BF} = \vec{BC} — \vec{CF} = \vec{BC} — \vec{n} \).
Поскольку \( \vec{BF} = \frac{2}{5} \vec{BC} \), то \( \vec{BF} = -\frac{2}{3} \vec{n} \).
Теперь выразим вектор \( \vec{KF} \). Он равен сумме векторов \( \vec{KB} \) и \( \vec{BF} \), то есть \( \vec{KF} = \vec{KB} + \vec{BF} = \vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n} \).
Далее найдем вектор \( \vec{KC} \). Он равен сумме векторов \( \vec{KF} \) и \( \vec{FC} \), то есть \( \vec{KC} = \vec{KF} + \vec{FC} = \vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n} + \vec{n} = \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n} \).
Теперь найдем вектор \( \vec{AF} \). Он равен сумме векторов \( \vec{AK} \) и \( \vec{KF} \), то есть \( \vec{AF} = -\frac{1}{2} \vec{m} + \vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n} = \frac{1}{2} \vec{m} — \frac{2}{3} \vec{n} \).
Наконец, найдем вектор \( \vec{AC} \). Он равен сумме векторов \( \vec{AK} \) и \( \vec{KC} \), то есть \( \vec{AC} = -\frac{1}{2} \vec{m} + \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n} = \frac{1}{2} \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n} \).
