ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 563 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили соответственно точки M и N так, что AM : MC = 1 : 3 и BN : NC = 4 : 3. Выразите векторы \(\vec{BA}\), \(\vec{AN}\), \(\vec{BM}\), \(\vec{NM}\) через векторы \(\vec{BN} = \vec{k}\), \(\vec{AM} = \vec{p}\).
Дано: \( AM : MC = 1 : 3 \), значит \( MC = 3AM = 3\vec{p} \).
\( BN : NC = 4 : 3 \), значит \( CN = \frac{3}{4}BN = \frac{3}{4}\vec{k} \).
Вектор \( \vec{BC} = \vec{BN} + \vec{NC} = \vec{k} + \frac{3}{4}\vec{k} = \frac{7}{4}\vec{k} \).
Вектор \( \vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC} = \vec{p} + 3\vec{p} = 4\vec{p} \).
Тогда:
\( \vec{BA} = \vec{BC} + \vec{CA} = \frac{7}{4}\vec{k} — 4\vec{p} \)
\( \vec{AN} = \vec{AC} + \vec{CN} = 4\vec{p} — \frac{3}{4}\vec{k} \)
\( \vec{BM} = \vec{BC} + \vec{CM} = \frac{7}{4}\vec{k} — 3\vec{p} \)
\( \vec{NM} = \vec{NC} + \vec{CM} = \frac{3}{4}\vec{k} — 3\vec{p} \)
В треугольнике \( ABC \) даны точки \( M \) и \( N \) на сторонах \( AC \) и \( BC \) соответственно. Из условия известно, что отрезок \( AM \) в три раза меньше отрезка \( MC \), то есть \( AM : MC = 1 : 3 \). Это значит, что \( MC = 3AM \), или \( MC = 3\vec{p} \), если обозначить \( \vec{AM} = \vec{p} \).
Также известно, что \( BN : NC = 4 : 3 \). Отсюда следует, что \( CN = \frac{3}{4}BN \). Если обозначить \( \vec{BN} = \vec{k} \), то \( \vec{CN} = \frac{3}{4}\vec{k} \).
Теперь найдем вектор \( \vec{BC} \). Он равен сумме векторов \( \vec{BN} \) и \( \vec{NC} \), то есть \( \vec{BC} = \vec{BN} + \vec{NC} = \vec{k} + \frac{3}{4}\vec{k} = \frac{7}{4}\vec{k} \).
Аналогично найдем вектор \( \vec{AC} \). Он равен сумме векторов \( \vec{AM} \) и \( \vec{MC} \), то есть \( \vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC} = \vec{p} + 3\vec{p} = 4\vec{p} \).
Чтобы найти вектор \( \vec{BA} \), выразим его через известные векторы. Вектор \( \vec{BA} \) равен вектору \( \vec{BC} \) плюс вектор \( \vec{CA} \). Так как \( \vec{CA} = -\vec{AC} \), получаем \( \vec{BA} = \vec{BC} — \vec{AC} = \frac{7}{4}\vec{k} — 4\vec{p} \).
Вектор \( \vec{AN} \) равен сумме векторов \( \vec{AC} \) и \( \vec{CN} \), то есть \( \vec{AN} = \vec{AC} + \vec{CN} = 4\vec{p} — \frac{3}{4}\vec{k} \).
Вектор \( \vec{BM} \) равен сумме векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{CM} \). Так как \( \vec{CM} = -\vec{MC} \), то \( \vec{BM} = \vec{BC} — \vec{MC} = \frac{7}{4}\vec{k} — 3\vec{p} \).
Наконец, вектор \( \vec{NM} \) равен сумме векторов \( \vec{NC} \) и \( \vec{CM} \), то есть \( \vec{NM} = \vec{NC} — \vec{MC} = \frac{3}{4}\vec{k} — 3\vec{p} \).
