ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 564 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Выразите вектор \(\vec{BM}\) через векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\).
Дано: \(BE\) — медиана, \(CF\) — медиана, нужно найти \(BM\).
Пусть \(M\) — точка пересечения медиан. Тогда \(BM : ME = 2 : 1\), следовательно \(ME = \frac{1}{2} BM\).
Так как \(E\) — середина \(AC\), то \(\vec{BE} = \vec{BA} + \frac{1}{2} \vec{BC}\).
Точка \(M\) делит медиану \(BE\) в отношении \(2 : 1\), значит \(\vec{BM} = \frac{2}{3} \vec{BE}\).
Подставим \(\vec{BE}\):
\(\vec{BM} = \frac{2}{3} \left( \vec{BA} + \frac{1}{2} \vec{BC} \right) = \frac{2}{3} \vec{BA} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{2}{3} \vec{BA} + \frac{1}{3} \vec{BC}\).
Ответ: \(\vec{BM} = \frac{2}{3} \vec{BA} + \frac{1}{3} \vec{BC}\).
В треугольнике \(ABC\) медиана \(BE\) соединяет вершину \(B\) с серединой \(E\) стороны \(AC\). Это значит, что точка \(E\) делит сторону \(AC\) пополам, то есть \(E\) — середина отрезка \(AC\).
Вектор \(BE\) можно выразить через векторы \(BA\) и \(BC\). Так как \(E\) — середина \(AC\), то \(\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AC}\). Тогда вектор \(BE\) равен сумме вектора \(BA\) и половины вектора \(BC\): \(\vec{BE} = \vec{BA} + \frac{1}{2} \vec{BC}\).
Точка пересечения медиан \(M\) делит каждую медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины. Значит, на медиане \(BE\) точка \(M\) делит отрезок так, что \(BM : ME = 2 : 1\). Следовательно, длина отрезка \(BM\) равна двум третям длины медианы \(BE\).
Вектор \(BM\) можно выразить через вектор \(BE\) с помощью коэффициента \(\frac{2}{3}\), то есть \(\vec{BM} = \frac{2}{3} \vec{BE}\).
Подставим выражение для \(\vec{BE}\) в формулу для \(\vec{BM}\):
\(\vec{BM} = \frac{2}{3} \left( \vec{BA} + \frac{1}{2} \vec{BC} \right) = \frac{2}{3} \vec{BA} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{2}{3} \vec{BA} + \frac{1}{3} \vec{BC}\).
Таким образом, вектор \(BM\) равен сумме векторов \(\frac{2}{3} \vec{BA}\) и \(\frac{1}{3} \vec{BC}\).
