ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 565 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

С помощью векторов докажите теорему о средней линии треугольника.

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Тогда \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \). Так как \( E \) и \( F \) — середины сторон \( AB \) и \( BC \), то \( \vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AB} \) и \( \vec{BF} = \frac{1}{2} \vec{BC} \). Вектор \( \vec{EF} = \vec{AF} — \vec{AE} = (\vec{AB} + \vec{BF}) — \vec{AE} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} — \frac{1}{2} \vec{AB} =\)
\(= \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{1}{2} \vec{AC} \).
Значит \( EF \parallel AC \) и \( EF = \frac{1}{2} AC \). Что и требовалось доказать.

Пусть \( \triangle ABC \) — произвольный треугольник, в котором \( E \) — середина стороны \( AB \), а \( F \) — середина стороны \( BC \).

Тогда по определению середины отрезка вектор \( \vec{AE} \) равен половине вектора \( \vec{AB} \), то есть \( \vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AB} \).

Аналогично, так как \( F \) — середина \( BC \), то вектор \( \vec{BF} = \frac{1}{2} \vec{BC} \).

Рассмотрим вектор \( \vec{EF} \). Его можно выразить через векторы, исходящие из точки \( A \): сначала найдем \( \vec{AF} \), который равен сумме \( \vec{AB} \) и \( \vec{BF} \), то есть \( \vec{AF} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} \).

Теперь найдём \( \vec{EF} = \vec{AF} — \vec{AE} = \left( \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} \right) — \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} \).

Объединим векторы: \( \vec{EF} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BC}) \).

Известно, что \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \), значит \( \vec{EF} = \frac{1}{2} \vec{AC} \).

Так как \( \vec{EF} \) — это вектор, параллельный \( \vec{AC} \) и его длина равна половине длины \( \vec{AC} \), то отрезок \( EF \) параллелен \( AC \) и равен половине \( AC \).

Таким образом, доказано, что средняя линия треугольника параллельна стороне \( AC \) и равна половине её длины.