ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 566 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть точки \(M_1\) и \(M_2\) — середины отрезков \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) соответственно. Докажите, что \(M_1M_2 = \frac{1}{2}(\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2})\).

В четырехугольнике \(A_1B_1B_2A_2\) по условию:
\(A_1M_1 = B_1M_1\), значит \(M_1\) — середина \(A_1B_1\), и
\(A_2M_2 = B_2M_2\), значит \(M_2\) — середина \(A_2B_2\).

Тогда
\(\vec{M_1B_1} = \frac{1}{2} \vec{A_1B_1}\),
\(\vec{B_2M_2} = \frac{1}{2} \vec{B_2A_2}\).

Вектор \( \vec{M_1M_2} = \vec{M_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{B_2M_2}\),
подставим:
\(\vec{M_1M_2} = \frac{1}{2} \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \frac{1}{2} \vec{B_2A_2}\).

В четырехугольнике:
\(\vec{A_1A_2} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{B_2A_2}\),
значит
\(\vec{M_1M_2} = \frac{1}{2} \vec{A_1A_2} + \frac{1}{2} \vec{B_1B_2} = \frac{1}{2}(\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2})\).

Что и требовалось доказать.

В четырехугольнике \(A_1B_1B_2A_2\) по условию точки \(M_1\) и \(M_2\) — середины отрезков \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) соответственно. Это значит, что отрезок \(A_1B_1\) разбит точкой \(M_1\) на две равные части, и отрезок \(A_2B_2\) разбит точкой \(M_2\) на две равные части.

По определению середины отрезка, вектор \( \vec{M_1B_1} \) равен половине вектора \( \vec{A_1B_1} \), то есть \( \vec{M_1B_1} = \frac{1}{2} \vec{A_1B_1} \). Аналогично, вектор \( \vec{B_2M_2} \) равен половине вектора \( \vec{B_2A_2} \), то есть \( \vec{B_2M_2} = \frac{1}{2} \vec{B_2A_2} \).

Рассмотрим вектор \( \vec{M_1M_2} \). Его можно представить как сумму векторов \( \vec{M_1B_1} \), \( \vec{B_1B_2} \) и \( \vec{B_2M_2} \), то есть
\( \vec{M_1M_2} = \vec{M_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{B_2M_2} \).

Подставим выражения для \( \vec{M_1B_1} \) и \( \vec{B_2M_2} \):
\( \vec{M_1M_2} = \frac{1}{2} \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \frac{1}{2} \vec{B_2A_2} \).

В четырехугольнике \(A_1B_1B_2A_2\) вектор \( \vec{A_1A_2} \) равен сумме векторов \( \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{B_2A_2} \), то есть
\( \vec{A_1A_2} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{B_2A_2} \).

Используя это, можно переписать \( \vec{M_1M_2} \) как
\( \vec{M_1M_2} = \frac{1}{2} \vec{A_1A_2} + \frac{1}{2} \vec{B_1B_2} = \frac{1}{2} (\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2}) \).

Таким образом, доказано, что
\( \vec{M_1M_2} = \frac{1}{2} (\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2}) \).