ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 567 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Используя задачу 566, докажите теорему о средней линии трапеции.

В трапеции \( ABCD \):
\( EF = \frac{1}{2} (BC + AD) \);
так как \( AD \parallel BC \), то \( EF \parallel AD \parallel BC \).
Длина средней линии:
\( |EF| = \frac{1}{2} (|BC| + |AD|) \).
Что и требовалось доказать.

В трапеции \( ABCD \) основания \( AD \) и \( BC \) параллельны, то есть \( AD \parallel BC \). Пусть \( E \) и \( F \) — середины боковых сторон \( AB \) и \( CD \) соответственно. Нужно доказать, что отрезок \( EF \) параллелен основаниям и равен их полусумме.

Так как \( E \) и \( F \) — середины сторон, то по свойству средней линии в треугольнике \( ABD \) отрезок \( EF \) параллелен основанию \( BD \) и равен половине его длины. Аналогично в треугольнике \( BCC \) (или используя свойства трапеции), \( EF \) параллелен основаниям.

Рассмотрим векторы. Обозначим векторы сторон: \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{DA} \). Тогда вектор средней линии \( \overrightarrow{EF} \) равен сумме половин векторов боковых сторон:

\( \overrightarrow{EF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \).

Поскольку \( AD \parallel BC \), то \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \) направлены одинаково, и сумма векторов боковых сторон равна сумме оснований:

\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} \).

Следовательно,

\( \overrightarrow{EF} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) \).

Это означает, что \( EF \) параллелен \( BC \) и \( AD \), и длина \( EF \) равна половине суммы длин оснований:

\( |EF| = \frac{1}{2} (|BC| + |AD|) \).

Таким образом, средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме, что и требовалось доказать.