Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 568 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Пусть точки M и N — соответственно середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Используя задачу 566, докажите, что \(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} — \vec{DC})\).
В четырёхугольнике ABCD точки M и N — середины диагоналей AC и BD, значит \( AM = MC \) и \( BN = ND \). Тогда \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \), \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \). Вектор \( \vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} — \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} — \vec{A} + \vec{D} — \vec{C}}{2} \). Вспомним, что \( \vec{AB} = \vec{B} — \vec{A} \) и \( \vec{DC} = \vec{C} — \vec{D} \), значит \( \vec{D} — \vec{C} = -\vec{DC} \). Подставим: \( \vec{MN} = \frac{\vec{AB} — \vec{DC}}{2} \). Что и требовалось доказать.
В четырёхугольнике ABCD точки M и N — середины диагоналей AC и BD. Это значит, что точка M делит отрезок AC пополам, а точка N делит отрезок BD пополам. Значит, \( AM = MC \) и \( BN = ND \).
Пусть векторы исходят из начала координат или любой точки отсчёта. Тогда координаты точки M можно выразить как среднее арифметическое координат точек A и C: \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \). Аналогично, координаты точки N равны среднему арифметическому координат точек B и D: \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \).
Вектор \( \vec{MN} \) равен разности координат точки N и точки M, то есть \( \vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} \). Подставим выражения для \( \vec{N} \) и \( \vec{M} \): \( \vec{MN} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} — \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \).
Вынесем общий множитель \( \frac{1}{2} \): \( \vec{MN} = \frac{(\vec{B} + \vec{D}) — (\vec{A} + \vec{C})}{2} = \frac{\vec{B} — \vec{A} + \vec{D} — \vec{C}}{2} \).
Вспомним определения векторов сторон: \( \vec{AB} = \vec{B} — \vec{A} \) и \( \vec{DC} = \vec{C} — \vec{D} \). Отсюда следует, что \( \vec{D} — \vec{C} = -\vec{DC} \).
Подставим это в выражение для \( \vec{MN} \): \( \vec{MN} = \frac{\vec{AB} + (\vec{D} — \vec{C})}{2} = \frac{\vec{AB} — \vec{DC}}{2} \).
Таким образом, мы доказали, что \( \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} — \vec{DC}) \).
