ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 569 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть точки M и N — соответственно середины диагоналей AC и BD трапеции ABCD (BC || AD). Используя задачу 566, докажите, что MN || AD.

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\), \(BC \parallel AD\).

В трапеции:
\(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\).

Вектор \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\).

Вычислим:
\(\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{MN}\).

Так как \(\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{AD}\), то
\(\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{AD}\).

Значит,
\(\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{AD}\).

Поскольку \(BC \parallel AD\), то
\(MN \parallel AD \parallel BC\).

Что и требовалось доказать.

В трапеции \(ABCD\) основания \(BC\) и \(AD\) параллельны, то есть \(BC \parallel AD\). По условию точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) соответственно.

Так как \(M\) — середина \(AC\), то вектор \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\). Аналогично, \(N\) — середина \(BD\), значит \(\overrightarrow{BN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD}\).

Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{MN}\). Его можно представить как разность векторов \(\overrightarrow{AN} — \overrightarrow{AM}\), где \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}\).

Подставим значения:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} — \overrightarrow{AM} = (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BD}) — \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\).

Диагонали \(AC\) и \(BD\) можно выразить через стороны трапеции:
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\),
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\).

Подставим эти выражения в формулу для \(\overrightarrow{MN}\):
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) — \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})\).

Раскроем скобки и упростим:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD}\).

Таким образом,
\(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\).

В трапеции сумма векторов боковых сторон равна разности векторов оснований:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BC}\).

Поскольку \(BC \parallel AD\), то векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) направлены параллельно. Значит, их разность \(\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BC}\) также параллельна этим векторам.

Отсюда следует, что
\(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BC})\) параллелен \(AD\) и \(BC\).

Значит, отрезок \(MN\) параллелен основаниям трапеции \(AD\) и \(BC\).