ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 57 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали параллелограмма равны 13 см и 11 см, а одна из сторон — 9 см. Найдите периметр параллелограмма.

Дано: \(AC = 13\), \(BD = 11\), \(AD = 9\).

В параллелограмме диагонали пересекаются пополам, значит \(AO = \frac{1}{2}AC = 6{,}5\), \(DO = BO = \frac{1}{2}BD = 5{,}5\).

Рассмотрим треугольник \(AOD\). По теореме косинусов:
\(AD^2 = AO^2 + DO^2 — 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos \angle AOD\),
\(9^2 = 6{,}5^2 + 5{,}5^2 — 2 \cdot 6{,}5 \cdot 5{,}5 \cdot \cos \angle AOD\),
\(81 = 42{,}25 + 30{,}25 — 71{,}5 \cdot \cos \angle AOD\),
\(71{,}5 \cdot \cos \angle AOD = 72{,}5 — 81 = -8{,}5\),
\(\cos \angle AOD = — \frac{17}{143}\).

Угол \( \angle BOA = 180^\circ — \angle AOD\), значит
\(\cos \angle BOA = — \cos \angle AOD = \frac{17}{143}\).

Рассмотрим треугольник \(AOB\). По теореме косинусов:
\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle BOA\),
\(AB^2 = 6{,}5^2 + 5{,}5^2 — 2 \cdot 6{,}5 \cdot 5{,}5 \cdot \frac{17}{143}\),
\(AB^2 = 42{,}25 + 30{,}25 — 8{,}5 = 64\),
\(AB = 8\).

Периметр параллелограмма:
\(P = 2(AB + AD) = 2(8 + 9) = 34\).

В параллелограмме \(ABCD\) диагонали пересекаются и делятся пополам. Значит точка пересечения диагоналей \(O\) делит диагональ \(AC\) на две равные части: \(AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{13}{2} = 6{,}5\) см. Аналогично диагональ \(BD\) делится пополам: \(BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{11}{2} = 5{,}5\) см.

Рассмотрим треугольник \(AOD\). Известно, что сторона \(AD = 9\) см, а отрезки \(AO = 6{,}5\) см и \(DO = 5{,}5\) см. Чтобы найти угол между отрезками \(AO\) и \(DO\), применим теорему косинусов:

\(AD^2 = AO^2 + DO^2 — 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos \angle AOD\).

Подставим числа:

\(9^2 = 6{,}5^2 + 5{,}5^2 — 2 \cdot 6{,}5 \cdot 5{,}5 \cdot \cos \angle AOD\),

\(81 = 42{,}25 + 30{,}25 — 71{,}5 \cdot \cos \angle AOD\),

\(81 = 72{,}5 — 71{,}5 \cdot \cos \angle AOD\),

Переносим слагаемые:

\(71{,}5 \cdot \cos \angle AOD = 72{,}5 — 81 = -8{,}5\),

Отсюда:

\(\cos \angle AOD = \frac{-8{,}5}{71{,}5} = — \frac{17}{143}\).

Так как диагонали пересекаются, угол \( \angle BOA \) смежный с \( \angle AOD \), значит:

\(\angle BOA = 180^\circ — \angle AOD\),

Отсюда косинус угла \( \angle BOA \):

\(\cos \angle BOA = — \cos \angle AOD = \frac{17}{143}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(AOB\), в котором известны стороны \(AO = 6{,}5\), \(BO = 5{,}5\) и угол между ними \(\angle BOA\) с косинусом \(\frac{17}{143}\).

Применим теорему косинусов для нахождения стороны \(AB\):

\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle BOA\),

Подставляем значения:

\(AB^2 = 6{,}5^2 + 5{,}5^2 — 2 \cdot 6{,}5 \cdot 5{,}5 \cdot \frac{17}{143}\),

\(AB^2 = 42{,}25 + 30{,}25 — 8{,}5\),

\(AB^2 = 64\),

Отсюда:

\(AB = \sqrt{64} = 8\) см.

Периметр параллелограмма равен сумме всех сторон, а так как противоположные стороны равны, то:

\(P = 2(AB + AD) = 2(8 + 9) = 2 \times 17 = 34\) см.