ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 570 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На стороне AC треугольника ABC отметили точку M так, что AM : MC = 2 : 3. Докажите, что \(\vec{BM} = \frac{3}{5}\vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC}\).
Дано: \( AM : MC = 2 : 3 \).
Рассмотрим треугольник \( ABC \).
Вектор \( AC = BC — BA \).
Точка \( M \) делит \( AC \) в отношении \( 2 : 3 \), значит \( AM = \frac{2}{5} AC \).
Тогда \( BM = BA + AM = BA + \frac{2}{5} AC = BA + \frac{2}{5} (BC — BA) =\)
\(= BA + \frac{2}{5} BC — \frac{2}{5} BA = \frac{3}{5} BA + \frac{2}{5} BC \).
Что и требовалось доказать.
Пусть \( M \) — точка на отрезке \( AC \), такая что \( AM : MC = 2 : 3 \). Это значит, что длина отрезка \( AM \) равна двум пятым части отрезка \( AC \), а длина \( MC \) — трём пятым.
Вектор \( AC \) можно выразить через векторы \( BA \) и \( BC \) как \( AC = BC — BA \), так как \( AC \) идёт от точки \( A \) к точке \( C \), а \( BC \) и \( BA \) исходят из точки \( B \).
Так как \( M \) делит \( AC \) в отношении \( 2 : 3 \), то вектор \( AM \) равен \( \frac{2}{5} \) от вектора \( AC \), то есть \( AM = \frac{2}{5} AC \).
Теперь найдём вектор \( BM \). Он равен сумме векторов \( BA \) и \( AM \), то есть \( BM = BA + AM \).
Подставим выражение для \( AM \): \( BM = BA + \frac{2}{5} AC \).
Далее подставим \( AC = BC — BA \): \( BM = BA + \frac{2}{5} (BC — BA) \).
Раскроем скобки: \( BM = BA + \frac{2}{5} BC — \frac{2}{5} BA \).
Сложим подобные: \( BM = \left(1 — \frac{2}{5}\right) BA + \frac{2}{5} BC = \frac{3}{5} BA + \frac{2}{5} BC \).
Таким образом, доказано, что \( BM = \frac{3}{5} BA + \frac{2}{5} BC \).
