ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 571 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 1 : 2. Докажите, что \(\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\).

Дано \( BD : DC = 1 : 2 \), значит \( D \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 1 : 2 \). Тогда \( \vec{BD} = \frac{1}{3} \vec{BC} \).

Вектор \( \vec{BC} = \vec{AC} — \vec{AB} \), значит \( \vec{BD} = \frac{1}{3} (\vec{AC} — \vec{AB}) = \frac{1}{3} \vec{AC} — \frac{1}{3} \vec{AB} \).

Теперь \( \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} — \frac{1}{3} \vec{AB} = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} \).

Что и требовалось доказать.

В треугольнике \( ABC \) точка \( D \) лежит на отрезке \( BC \) так, что \( BD : DC = 1 : 2 \). Это значит, что \( D \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 1 \) к \( 2 \).

Так как \( D \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 1 : 2 \), то длина отрезка \( BC \) равна сумме частей: \( BD + DC = 1 + 2 = 3 \) части. Значит, вектор \( \vec{BD} \) равен \( \frac{1}{3} \) от вектора \( \vec{BC} \), то есть \( \vec{BD} = \frac{1}{3} \vec{BC} \).

Вектор \( \vec{BC} \) можно выразить через векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \). Так как \( \vec{BC} = \vec{AC} — \vec{AB} \), подставляем это в выражение для \( \vec{BD} \):
\( \vec{BD} = \frac{1}{3} (\vec{AC} — \vec{AB}) = \frac{1}{3} \vec{AC} — \frac{1}{3} \vec{AB} \).

Теперь найдём вектор \( \vec{AD} \). Он равен сумме векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BD} \), то есть
\( \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} — \frac{1}{3} \vec{AB} \).

Соберём подобные слагаемые:
\( \vec{AD} = \vec{AB} — \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} \).

Таким образом, мы получили выражение для вектора \( \vec{AD} \) через векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), которое совпадает с требуемым:
\( \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} \).