ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 572 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника.
Пусть \( AE, BF, CK \) — медианы треугольника \( \triangle ABC \). Тогда по определению медианы:
\( \vec{AE} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} \),
\( \vec{BF} = \vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CA} \),
\( \vec{CK} = \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB} \).
Сложим векторы:
\( \vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CK} = \left(\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC}\right) + \left(\vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CA}\right) + \left(\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB}\right) \).
Сгруппируем:
\( = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} + \vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CA} + \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB} \),
\( = \left(\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AB}\right) + \left(\vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{BC}\right) + \left(\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{CA}\right) \),
\( = \frac{3}{2} \vec{AB} + \frac{3}{2} \vec{BC} + \frac{3}{2} \vec{CA} = \frac{3}{2} (\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) \).
Так как \( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0} \), то
\( \vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CK} = \frac{3}{2} \cdot \vec{0} = \vec{0} \).
Что и требовалось доказать.
Пусть в треугольнике \( \triangle ABC \) точки \( E, F, K \) — середины сторон \( BC, CA, AB \) соответственно. Тогда медианы треугольника — это отрезки \( AE, BF, CK \).
Рассмотрим векторы, направленные вдоль сторон треугольника: \( \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA} \). По определению векторов имеем равенство \( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0} \), так как они образуют замкнутый контур.
Медиана из вершины \( A \) к середине \( E \) стороны \( BC \) выражается вектором \( \vec{AE} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} \), так как точка \( E \) — середина \( BC \).
Аналогично медиана из вершины \( B \) к середине \( F \) стороны \( CA \) равна \( \vec{BF} = \vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CA} \).
Медиана из вершины \( C \) к середине \( K \) стороны \( AB \) равна \( \vec{CK} = \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB} \).
Сложим все три медианы:
\( \vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CK} = \left(\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC}\right) + \left(\vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CA}\right) + \left(\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB}\right) \).
Перегруппируем слагаемые по вектору:
\( = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} + \vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CA} + \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB} \).
Сложим коэффициенты у каждого вектора:
\( = \left(\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AB}\right) + \left(\vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{BC}\right) + \left(\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{CA}\right) \).
Это равно
\( = \frac{3}{2} \vec{AB} + \frac{3}{2} \vec{BC} + \frac{3}{2} \vec{CA} = \frac{3}{2} (\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) \).
Так как \( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0} \), то
\( \vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CK} = \frac{3}{2} \cdot \vec{0} = \vec{0} \).
Таким образом, сумма векторов медиан равна нулю, что доказывает искомое равенство.
