ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 573 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Пусть точки \(M_1\) и \(M_2\) — середины отрезков \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) соответственно. Докажите, что середины отрезков \(A_1A_2\), \(M_1M_2\), \(B_1B_2\) лежат на одной прямой.
\( \overrightarrow{M_1} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1}}{2} \), \( \overrightarrow{M_2} = \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2}}{2} \), \( \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}}{2} \), \( \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{M_2}}{2} \), \( \overrightarrow{F} = \frac{\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2}}{2} \).
\( \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{E} = \frac{(\overrightarrow{M_1} — \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{M_2} — \overrightarrow{A_2})}{2} = \frac{1}{4} \left( (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}) \right) \).
\( \overrightarrow{KF} = \overrightarrow{F} — \overrightarrow{K} = \frac{(\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{M_1}) + (\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{M_2})}{2} = \frac{1}{4} \left( (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}) \right) \).
Следовательно, \( \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{KF} \), значит точки \(E, K, F\) лежат на одной прямой.
Пусть \(M_1\) — середина отрезка \(A_1B_1\), тогда по определению середины вектор точки \(M_1\) равен \( \overrightarrow{M_1} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1}}{2} \).
Аналогично, \(M_2\) — середина отрезка \(A_2B_2\), значит \( \overrightarrow{M_2} = \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2}}{2} \).
Обозначим середины отрезков \(A_1A_2\), \(M_1M_2\) и \(B_1B_2\) через \(E\), \(K\) и \(F\) соответственно.
Тогда по определению середины:
\( \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}}{2} \),
\( \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{M_2}}{2} \),
\( \overrightarrow{F} = \frac{\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2}}{2} \).
Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{EK} \), который равен разности координат точки \(K\) и точки \(E\):
\( \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{M_2}}{2} — \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}}{2} = \frac{(\overrightarrow{M_1} — \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{M_2} — \overrightarrow{A_2})}{2} \).
Подставим выражения для \( \overrightarrow{M_1} \) и \( \overrightarrow{M_2} \):
\( \overrightarrow{M_1} — \overrightarrow{A_1} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1}}{2} — \overrightarrow{A_1} = \frac{\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}}{2} \),
\( \overrightarrow{M_2} — \overrightarrow{A_2} = \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2}}{2} — \overrightarrow{A_2} = \frac{\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}}{2} \).
Таким образом,
\( \overrightarrow{EK} = \frac{1}{2} \left( \frac{\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}}{2} + \frac{\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}) \right) \).
Теперь рассмотрим вектор \( \overrightarrow{KF} \), равный разности координат точки \(F\) и точки \(K\):
\( \overrightarrow{KF} = \overrightarrow{F} — \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2}}{2} — \frac{\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{M_2}}{2} = \frac{(\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{M_1}) + (\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{M_2})}{2} \).
Подставим выражения для \( \overrightarrow{M_1} \) и \( \overrightarrow{M_2} \):
\( \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{M_1} = \overrightarrow{B_1} — \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1}}{2} = \frac{\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}}{2} \),
\( \overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{M_2} = \overrightarrow{B_2} — \frac{\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_2}}{2} = \frac{\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}}{2} \).
Следовательно,
\( \overrightarrow{KF} = \frac{1}{2} \left( \frac{\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}}{2} + \frac{\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{B_2} — \overrightarrow{A_2}) \right) \).
Получаем, что
\( \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{KF} \).
Это означает, что векторы \( \overrightarrow{EK} \) и \( \overrightarrow{KF} \) совпадают по направлению и длине, следовательно, точки \(E\), \(K\) и \(F\) лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что середины отрезков \(A_1A_2\), \(M_1M_2\) и \(B_1B_2\) коллинеарны.
