ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 574 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На стороне AD и на диагонали AC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что \(AM = \frac{1}{5}AD\) и \(AN = \frac{1}{6}AC\). Докажите, что точки M, N и B лежат на одной прямой.

Краткий ответ:

В параллелограмме \(ABCD\) имеем \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\), \( \vec{AM} = \frac{1}{5} \vec{AD}\), \( \vec{AN} = \frac{1}{6} \vec{AC} = \frac{1}{6} \vec{AB} + \frac{1}{6} \vec{AD}\).

Векторы \(\vec{BN} = \vec{AN} — \vec{AB} = -\frac{5}{6} \vec{AB} + \frac{1}{6} \vec{AD}\), \(\vec{BM} = \vec{AM} — \vec{AB} = -\vec{AB} + \frac{1}{5} \vec{AD}\).

Проверяем коллинеарность: \(\vec{BM} = \lambda \vec{BN}\).

Из \(\vec{AB}\) получаем \(-1 = -\frac{5}{6} \lambda\), значит \(\lambda = \frac{6}{5}\).

Из \(\vec{AD}\) получаем \(\frac{1}{5} = \frac{1}{6} \lambda\), значит \(\lambda = \frac{6}{5}\).

Так как \(\lambda\) одинаковы, \(\vec{BM} \parallel \vec{BN}\), значит точки \(M, N, B\) лежат на одной прямой.

Подробный ответ:

Пусть \(A\) — начало отсчёта, тогда векторы сторон параллелограмма задаются как \(\vec{AB} = \vec{b}\) и \(\vec{AD} = \vec{d}\). Диагональ \(AC\) равна сумме векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\), то есть \(\vec{AC} = \vec{b} + \vec{d}\).

Точка \(M\) лежит на стороне \(AD\) и делит её в отношении \(AM = \frac{1}{5} AD\), значит вектор \(\vec{AM} = \frac{1}{5} \vec{d}\).

Точка \(N\) лежит на диагонали \(AC\) и делит её в отношении \(AN = \frac{1}{6} AC\), значит вектор \(\vec{AN} = \frac{1}{6} (\vec{b} + \vec{d}) = \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{d}\).

Теперь найдём векторы \(\vec{BN}\) и \(\vec{BM}\). Вектор \(\vec{BN} = \vec{AN} — \vec{AB} = \left(\frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{d}\right) — \vec{b} = -\frac{5}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{d}\).

Вектор \(\vec{BM} = \vec{AM} — \vec{AB} = \frac{1}{5} \vec{d} — \vec{b} = -\vec{b} + \frac{1}{5} \vec{d}\).

Для доказательства коллинеарности векторов \(\vec{BM}\) и \(\vec{BN}\) проверим, существует ли число \(\lambda\), такое что \(\vec{BM} = \lambda \vec{BN}\).

Приравниваем компоненты:

По \(\vec{b}\): \(-1 = -\frac{5}{6} \lambda\), откуда \(\lambda = \frac{6}{5}\).

По \(\vec{d}\): \(\frac{1}{5} = \frac{1}{6} \lambda\), откуда \(\lambda = \frac{6}{5}\).

Так как \(\lambda\) совпадают, векторы \(\vec{BM}\) и \(\vec{BN}\) коллинеарны.

Следовательно, точки \(B\), \(M\) и \(N\) лежат на одной прямой.

Оцени решение