ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 575 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Меньшее основание и боковая сторона равнобокой трапеции равны 12 см. Чему равна средняя линия трапеции, если один из её углов равен 60°?

В треугольнике \(ABC\): \(AC^2 = 12^2 + 12^2 — 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ = 288 + 144 = 432\), значит \(AC = 12 \sqrt{3}\).

В треугольнике \(ACD\): \(432 = AD^2 + 144 — 12 AD\), получаем уравнение \(AD^2 — 12 AD — 288 = 0\).

Дискриминант \(D = 1296\), корни \(AD = \frac{12 \pm 36}{2}\), выбираем \(AD = 24\).

Средняя линия \(EF = \frac{AD + BC}{2} = \frac{24 + 12}{2} = 18\).

Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), где \(AB = CD = BC = 12\) см и угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\). Нужно найти среднюю линию \(EF\).

В равнобокой трапеции углы при основаниях равны, значит \(\angle D = \angle A = 60^\circ\). Также сумма углов при одной боковой стороне равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle B = 180^\circ — \angle A = 120^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). По теореме косинусов вычислим диагональ \(AC\):

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\).

Подставим известные значения:

\(AC^2 = 12^2 + 12^2 — 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ\).

Так как \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), получаем:

\(AC^2 = 144 + 144 — 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 288 + 144 = 432\).

Отсюда \(AC = \sqrt{432} = 12 \sqrt{3}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). По теореме косинусов:

\(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle D\).

Подставим известные значения:

\(432 = AD^2 + 12^2 — 2 \cdot AD \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ\).

Так как \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), уравнение принимает вид:

\(432 = AD^2 + 144 — 12 AD\).

Переносим все в одну сторону:

\(AD^2 — 12 AD + 144 — 432 = 0\),

то есть

\(AD^2 — 12 AD — 288 = 0\).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\(D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 144 + 1152 = 1296\).

Корни уравнения:

\(AD = \frac{12 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{12 \pm 36}{2}\).

Берём положительный корень:

\(AD = \frac{12 + 36}{2} = 24\).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(EF = \frac{AD + BC}{2} = \frac{24 + 12}{2} = 18\).

Ответ: 18 см.