ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 576 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали параллелограмма равны 6 см и 16 см, а одна из сторон — 7 см. Найдите угол между диагоналями параллелограмма и его площадь.
В параллелограмме \(AO = \frac{1}{2} AC = 8\), \(BO = \frac{1}{2} BD = 3\). По теореме косинусов в треугольнике \(AOB\): \(7^2 = 8^2 + 3^2 — 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos \angle AOB\). Получаем \(\cos \angle AOB = \frac{1}{2}\), значит \(\angle AOB = 60^\circ\). Площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 24 \sqrt{3}\) см\(^2\).
В параллелограмме \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), которая делит каждую диагональ пополам. Значит, \(AO = \frac{1}{2} AC\) и \(BO = \frac{1}{2} BD\). По условию \(AC = 16\) см и \(BD = 6\) см, следовательно, \(AO = 8\) см и \(BO = 3\) см.
Рассмотрим треугольник \(AOB\). Известно, что сторона \(AB = 7\) см. Чтобы найти угол между диагоналями, воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае это будет:
\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB\).
Подставим известные значения:
\(7^2 = 8^2 + 3^2 — 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos \angle AOB\).
Вычислим квадраты: \(49 = 64 + 9 — 48 \cos \angle AOB\).
Сложим числа справа: \(49 = 73 — 48 \cos \angle AOB\).
Перенесём числа: \(48 \cos \angle AOB = 73 — 49\).
Вычислим разность: \(48 \cos \angle AOB = 24\).
Разделим обе части на 48: \(\cos \angle AOB = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}\).
Известно, что угол с косинусом \(\frac{1}{2}\) равен \(60^\circ\), значит \(\angle AOB = 60^\circ\).
Для нахождения площади параллелограмма используем формулу через диагонали и угол между ними:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \angle AOB\).
Подставим значения:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ\).
Вычислим произведение: \(S_{ABCD} = 48 \cdot \sin 60^\circ\).
Значение \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит:
\(S_{ABCD} = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \sqrt{3}\) см\(^2\).
Ответ: угол между диагоналями \(60^\circ\), площадь параллелограмма \(24 \sqrt{3}\) см\(^2\).
