ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 577 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите длину хорды окружности радиуса R, концы которой разбивают эту окружность на две дуги, длины которых относятся как 2: 1.

Пусть угол в центре, соответствующий меньшей дуге, равен \( \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ \). В треугольнике \( AOB \) с равными сторонами \( OA = OB = R \) длина хорды \( AB \) находится по теореме косинусов: \( AB^2 = R^2 + R^2 — 2 R^2 \cos 120^\circ = 2R^2 + R^2 = 3R^2 \). Значит, \( AB = R \sqrt{3} \).

Пусть длина полной окружности равна \( 2 \pi R \), где \( R \) — радиус окружности.

Хорда \( AB \) делит окружность на две дуги с отношением длин \( 2 : 1 \). Это значит, что большая дуга составляет \( \frac{2}{3} \) окружности, а меньшая — \( \frac{1}{3} \) окружности.

Угол в центре окружности, соответствующий меньшей дуге \( \overset{\frown}{AB} \), равен \( \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \), где \( OA = OB = R \), а угол между ними равен \( 120^\circ \).

По теореме косинусов длина хорды \( AB \) вычисляется как \( AB^2 = OA^2 + OB^2 — 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ \).

Подставляя значения, получаем \( AB^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 120^\circ = 2R^2 — 2R^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) =\)
\(= 2R^2 + R^2 = 3R^2 \).

Следовательно, длина хорды равна \( AB = R \sqrt{3} \).