ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 578 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте угол, величина которого равна углу между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) (рис. 139).

На рисунке даны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Чтобы построить угол между ними, нужно из одной точки \(O\) провести оба вектора. Угол \(\angle AOB\) — это угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Если векторы заданы координатами, то угол \(\alpha\) между ними можно найти по формуле:
\(\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\),
где \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\),
а длины векторов \(\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\), \(\left|\vec{b}\right| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}\).

Подставляем значения, вычисляем \(\cos \alpha\), затем находим \(\alpha = \arccos(\cos \alpha)\).

Таким образом, угол \(\angle AOB\) равен углу между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

На рисунке даны два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), исходящие из одной точки \(O\). Нужно построить угол между этими векторами, который обозначается как \(\angle AOB\).

Сначала отметим точки \(A\) и \(B\) на концах векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно. Тогда угол \(\angle AOB\) — это угол между лучами \(OA\) и \(OB\).

Если известны координаты векторов \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y)\), то для нахождения угла между ними используем формулу косинуса угла:

\(\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\),

где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\).

Длины векторов считаются по формулам

\(\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2}}\),

\(\left|\vec{b}\right| = \sqrt{b_x^{2} + b_y^{2}}\).

Подставляем значения координат в формулы, вычисляем скалярное произведение и длины векторов.

Далее находим косинус угла \(\alpha\) по формуле и вычисляем сам угол:

\(\alpha = \arccos \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|} \right)\).

Таким образом, угол \(\angle AOB\) равен углу \(\alpha\), который мы нашли по координатам векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).