ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 58 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см, а одна из сторон на 2 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

Дано: \(BD = 8\), \(AC = 14\), \(AB = AD + 2\).

В параллелограмме диагонали делятся пополам:
\(AO = \frac{AC}{2} = 7\), \(BO = DO = \frac{BD}{2} = 4\).

По теореме косинусов в треугольнике \(AOD\):
\(AD^2 = AO^2 + DO^2 — 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos \angle AOD\),
\(AD^2 = 7^2 + 4^2 — 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos \angle AOD = 49 + 16 -\)
\( -56 \cos \angle AOD = 65 — 56 \cos \angle AOD\).

Тогда \(\cos \angle AOD = \frac{65 — AD^2}{56}\).

Угол \(BOA = 180^\circ — \angle AOD\), значит \(\cos \angle BOA = -\cos \angle AOD = \frac{AD^2 — 65}{56}\).

В треугольнике \(AOB\) по теореме косинусов:
\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle BOA\),
\(AB^2 = 7^2 + 4^2 — 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \frac{AD^2 — 65}{56} = 65 — (AD^2 — 65) = 130 — AD^2\).

По условию \(AB = AD + 2\), значит
\((AD + 2)^2 = 130 — AD^2\),
\(AD^2 + 4AD + 4 = 130 — AD^2\),
\(2AD^2 + 4AD — 126 = 0\),
\(AD^2 + 2AD — 63 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256\),
\(AD = \frac{-2 \pm 16}{2}\),
\(AD_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -9\) (не подходит),
\(AD_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 7\).

Тогда \(AB = 7 + 2 = 9\).

Ответ: \(AD = 7\), \(AB = 9\).

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), в котором даны длины диагоналей: \(BD = 8\) см и \(AC = 14\) см. Известно, что сторона \(AB\) на 2 см длиннее стороны \(AD\), то есть \(AB = AD + 2\). Чтобы найти длины \(AB\) и \(AD\), сначала вспомним важное свойство параллелограмма: диагонали пересекаются в точке \(O\) и делятся пополам. Это значит, что \(O\) — середина диагоналей, и длины отрезков \(AO\), \(BO\), \(CO\), \(DO\) равны половине диагоналей.

Таким образом, \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7\) см, а \(BO = DO = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см. Теперь мы можем рассмотреть два треугольника: \(AOD\) и \(AOB\), которые образуются диагоналями и сторонами параллелограмма. В треугольнике \(AOD\) применим теорему косинусов, чтобы выразить сторону \(AD\) через известные отрезки и угол между ними. Теорема косинусов гласит, что для треугольника с сторонами \(a, b, c\) и углом \(\gamma\) напротив стороны \(c\) справедливо: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos \gamma\).

В нашем случае \(AD^2 = AO^2 + DO^2 — 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos \angle AOD\). Подставим известные значения: \(AD^2 = 7^2 + 4^2 — 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos \angle AOD = 49 + 16 — 56 \cos \angle AOD =\)
\(= 65 — 56 \cos \angle AOD\). Отсюда выразим \(\cos \angle AOD\): \(\cos \angle AOD = \frac{65 — AD^2}{56}\).

Теперь рассмотрим угол \(BOA\). Поскольку точки \(O\) — середины диагоналей, углы \(AOD\) и \(BOA\) являются смежными и в сумме дают \(180^\circ\). Тогда \(\angle BOA = 180^\circ — \angle AOD\), и \(\cos \angle BOA = — \cos \angle AOD =\)
\(= \frac{AD^2 — 65}{56}\). В треугольнике \(AOB\) снова применим теорему косинусов для стороны \(AB\): \(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle BOA\).

Подставим значения: \(AB^2 = 7^2 + 4^2 — 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \frac{AD^2 — 65}{56} = 49 + 16 — 56 \cdot \frac{AD^2 — 65}{56} =\)
\(= 65 — (AD^2 — 65) = 130 — AD^2\). По условию \(AB = AD + 2\), значит \((AD + 2)^2 = 130 — AD^2\). Раскроем скобки: \(AD^2 + 4AD + 4 = 130 — AD^2\).

Перенесём все члены в одну сторону: \(AD^2 + 4AD + 4 + AD^2 — 130 = 0\), или \(2AD^2 + 4AD — 126 = 0\). Разделим уравнение на 2: \(AD^2 + 2AD — 63 = 0\). Решим квадратное уравнение по формуле: дискриминант \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256\). Тогда корни: \(AD = \frac{-2 \pm 16}{2}\).

Первый корень \(AD_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -9\) отрицателен, поэтому не подходит для длины стороны. Второй корень \(AD_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 7\) подходит. Следовательно, \(AD = 7\) см. Тогда \(AB = AD + 2 = 7 + 2 = 9\) см.

Итог: длины сторон параллелограмма равны \(AD = 7\) см и \(AB = 9\) см.