ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 581 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 142 изображён равносторонний треугольник ABC, медианы которого AM и BK пересекаются в точке F. Найдите угол между векторами: 1) \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\); 2) \(\vec{BA}\) и \(\vec{AC}\); 3) \(\vec{BC}\) и \(\vec{AM}\); 4) \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\); 5) \(\vec{AB}\) и \(\vec{BK}\); 6) \(\vec{AM}\) и \(\vec{BK}\); 7) \(\vec{CF}\) и \(\vec{AB}\).

1) Угол между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) равен \( 60^\circ \).

2) Угол между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{AC} \) равен \( 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).

3) Угол между векторами \( \vec{BC} \) и \( \vec{AM} \) равен \( 90^\circ \).

4) Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) равен \( \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \).

5) Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{BK} \) равен \( 180^\circ — \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 150^\circ \).

6) Угол между векторами \( \vec{AM} \) и \( \vec{BK} \) равен \( \frac{1}{2} \cdot 60^\circ + 90^\circ = 120^\circ \).

7) Угол между векторами \( \vec{CF} \) и \( \vec{AB} \) равен \( 90^\circ \).

Рассмотрим равносторонний треугольник \( ABC \). Все его стороны равны, и все углы равны \( 60^\circ \).

Угол между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) — это угол при вершине \( B \) треугольника, поэтому он равен \( 60^\circ \).

Вектор \( \vec{AC} \) направлен от \( A \) к \( C \), а \( \vec{BA} \) — от \( B \) к \( A \). Угол между ними равен дополнительному к углу при вершине \( A \), то есть \( 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).

Медиана \( AM \) проведена из вершины \( A \) к середине стороны \( BC \). В равностороннем треугольнике медиана является также высотой, поэтому \( AM \perp BC \). Значит угол между векторами \( \vec{BC} \) и \( \vec{AM} \) равен \( 90^\circ \).

Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) равен половине угла при вершине \( A \), то есть \( \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \).

Медиана \( BK \) проведена из вершины \( B \). Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{BK} \) равен \( 180^\circ — \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 150^\circ \), так как медиана делит угол при вершине \( B \ пополам\).

Угол между медианами \( \vec{AM} \) и \( \vec{BK} \) равен сумме половины угла при вершине \( A \) и \( 90^\circ \), то есть \( \frac{1}{2} \cdot 60^\circ + 90^\circ = 120^\circ \).

Точка \( F \) — точка пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении \( 2:1 \). Вектор \( \vec{CF} \) образует угол \( 90^\circ \) с вектором \( \vec{AB} \), так как медиана \( BK \) перпендикулярна стороне \( AC \), и \( F \) лежит на медиане \( BK \).

Ответ:

1) \( 60^\circ \)

2) \( 120^\circ \)

3) \( 90^\circ \)

4) \( 30^\circ \)

5) \( 150^\circ \)

6) \( 120^\circ \)

7) \( 90^\circ \)