ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 582 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 143 изображён квадрат ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Найдите угол между векторами: 1) \(\vec{AB}\) и \(\vec{DA}\); 2) \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\); 3) \(\vec{AB}\) и \(\vec{CA}\); 4) \(\vec{DB}\) и \(\vec{CB}\); 5) \(\vec{BO}\) и \(\vec{CD}\).

1) \( \angle(\vec{AB}, \vec{DA}) = 90^\circ \)

2) \( \angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \)

3) \( \angle(\vec{AB}, \vec{CA}) = 180^\circ — \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 135^\circ \)

4) \( \angle(\vec{DB}, \vec{CB}) = 180^\circ — \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 135^\circ \)

5) \( \angle(\vec{BO}, \vec{CD}) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \)

Рассмотрим квадрат \(ABCD\). В нем все стороны равны и все углы прямые, то есть по \(90^\circ\).

Вектор \(\vec{AB}\) направлен вдоль одной стороны квадрата, а вектор \(\vec{DA}\) — вдоль соседней стороны, которая перпендикулярна первой. Значит угол между ними равен \(90^\circ\), то есть

\( \angle(\vec{AB}, \vec{DA}) = 90^\circ \).

Диагональ \(AC\) делит угол \(90^\circ\) на два равных угла, потому угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен половине угла квадрата:

\( \angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).

Вектор \(\vec{CA}\) направлен в обратную сторону относительно \(\vec{AC}\), то есть угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{CA}\) равен \(180^\circ\) минус угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\( \angle(\vec{AB}, \vec{CA}) = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ \).

Векторы \(\vec{DB}\) и \(\vec{CB}\) исходят из точки \(B\) к вершинам \(D\) и \(C\). Они образуют угол, который равен \(135^\circ\), так как это угол между диагоналями и сторонами квадрата, дополняющийся до \(180^\circ\):

\( \angle(\vec{DB}, \vec{CB}) = 135^\circ \).

Точка \(O\) — середина диагоналей, значит вектор \(\vec{BO}\) — половина диагонали, направленная к центру квадрата. Вектор \(\vec{CD}\) — сторона квадрата, перпендикулярная диагонали. Угол между ними равен половине угла квадрата:

\( \angle(\vec{BO}, \vec{CD}) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).