ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 583 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если:

1) \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 5\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ\);

2) \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 2\sqrt{2}\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ\);

3) \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 1\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^\circ\);

4) \(|\vec{a}| = \frac{1}{2}\), \(|\vec{b}| = 6\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ\);

5) \(|\vec{a}| = 0,3\), \(|\vec{b}| = 0\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 137^\circ\).

Краткий ответ:

1) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \)
Ответ: 5.

2) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 6 \cdot (-1) = -6 \)
Ответ: -6.

3) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 \cdot \cos 0^\circ = 4 \cdot 1 = 4 \)
Ответ: 4.

4) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \cos 180^\circ = 3 \cdot (-1) = -3 \)
Ответ: -3.

5) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0{,}3 \cdot 0 \cdot \cos 137^\circ = 0 \)
Ответ: 0.

Подробный ответ:

Для нахождения скалярного произведения векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) используется формула \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \), где \(\theta\) — угол между векторами.

1) Даны: \( |\vec{a}| = 2 \), \( |\vec{b}| = 5 \), угол \( \theta = 60^\circ \).
Вычисляем: \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
Подставляем в формулу:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).

2) Даны: \( |\vec{a}| = 3 \), \( |\vec{b}| = 2\sqrt{2} \), угол \( \theta = 135^\circ \).
Вычисляем: \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Подставляем в формулу:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 6\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \).
Умножаем: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \), значит
\( 6\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) = 6 \cdot (-1) = -6 \).

3) Даны: \( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 1 \), угол \( \theta = 0^\circ \).
Вычисляем: \( \cos 0^\circ = 1 \).
Подставляем:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 \).

4) Даны: \( |\vec{a}| = \frac{1}{2} \), \( |\vec{b}| = 6 \), угол \( \theta = 180^\circ \).
Вычисляем: \( \cos 180^\circ = -1 \).
Подставляем:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (-1) = 3 \cdot (-1) = -3 \).

5) Даны: \( |\vec{a}| = 0{,}3 \), \( |\vec{b}| = 0 \), угол \( \theta = 137^\circ \).
Вычисляем: \( \cos 137^\circ \) не важен, так как один из модулей равен нулю.
Подставляем:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0{,}3 \cdot 0 \cdot \cos 137^\circ = 0 \).

Оцени решение