ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 584 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), если:

1) \(|\vec{m}| = 7\sqrt{2}\), \(|\vec{n}| = 4\), \(\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 45^\circ\);

2) \(|\vec{m}| = 8\), \(|\vec{n}| = \sqrt{3}\), \(\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 150^\circ\).

1) \( |\vec{m}| = 7\sqrt{2}, |\vec{n}| = 4, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 45^\circ \)

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos 45^\circ = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \cdot 4 \cdot 1 = 28 \)

Ответ: 28

2) \( |\vec{m}| = 8, |\vec{n}| = \sqrt{3}, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 150^\circ \)

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -12 \)

Ответ: -12

Даны два вектора с длинами и углами между ними. Чтобы найти скалярное произведение, нужно умножить длины векторов на косинус угла между ними.

Для первого случая: длина первого вектора \( |\vec{m}| = 7\sqrt{2} \), длина второго вектора \( |\vec{n}| = 4 \), угол между ними \( 45^\circ \).

Скалярное произведение вычисляется по формуле \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \theta \).

Подставляем значения: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos 45^\circ \).

Косинус 45 градусов равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Умножаем: \( 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \cdot \frac{2}{2} = 7 \), тогда \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 7 \cdot 4 = 28 \).

Ответ для первого случая: 28.

Для второго случая: длина первого вектора \( |\vec{m}| = 8 \), длина второго вектора \( |\vec{n}| = \sqrt{3} \), угол между ними \( 150^\circ \).

Используем ту же формулу: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ \).

Косинус 150 градусов равен \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).

Умножаем: \( \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} \), тогда \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -12 \).

Ответ для второго случая: -12.