ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 587 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На рисунке 144 изображён ромб ABCD, в котором \(AB = 6\) см, \(\angle ABC = 120^\circ\). Найдите скалярное произведение векторов:

1) \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\); 2) \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\); 3) \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\);

4) \(\vec{BC}\) и \(\vec{DA}\); 5) \(\vec{DB}\) и \(\vec{DC}\); 6) \(\vec{BD}\) и \(\vec{AD}\).

Краткий ответ:

1) Угол \( \angle BAD = 180^\circ — \angle ABC = 60^\circ \), \( AD = AB = 6 \) см;
\( \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \).

2) Угол \( \angle ADC = \angle ABC = 120^\circ \), \( AD = CD = AB = 6 \) см;
\( \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18 \).

3) \( CD = AB = 6 \) см;
\( \vec{AB} \cdot \vec{DC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 0^\circ = 36 \cdot 1 = 36 \).

4) \( BC = AD = AB = 6 \) см;
\( \vec{BC} \cdot \vec{DA} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 180^\circ = 36 \cdot (-1) = -36 \).

5) Угол \( \angle ADC = \angle ABC = 120^\circ \), \( \angle BDC = \frac{1}{2} \angle ADC = 60^\circ \);
Угол \( \angle BCD = 180^\circ — \angle ABC = 60^\circ \), \( BD = CD = AB = 6 \) см;
\( \vec{DB} \cdot \vec{DC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \).

6) Угол \( \angle BCD = 180^\circ — \angle ABC = 60^\circ \);
Угол \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 60^\circ \), \( BD = BC = AB = 6 \) см;
\( \vec{BD} \cdot \vec{AD} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \).

Подробный ответ:

Рассмотрим ромб \(ABCD\), в котором все стороны равны, то есть \(AB = BC = CD = DA = 6\) см. Из условия известно, что угол при вершине \(B\) равен \(120^\circ\). В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Значит угол при вершине \(A\) равен \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\). Это важно для вычисления скалярного произведения векторов, исходящих из точки \(A\).

Скалярное произведение двух векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) вычисляется по формуле \( \vec{u} \cdot \vec{v} = |u| \cdot |v| \cdot \cos \theta \), где \(\theta\) — угол между этими векторами. Поскольку все стороны ромба равны 6 см, длины векторов равны 6. Например, для векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) угол равен \(60^\circ\), тогда
\( \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \).

Аналогично, угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\) равен углу при вершине \(B\), то есть \(120^\circ\). Тогда
\( \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18 \).
Отрицательное значение указывает на то, что угол больше \(90^\circ\), и векторы направлены более противоположно, чем в одном направлении.

Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) параллельны и направлены в одну сторону, поэтому угол между ними равен \(0^\circ\). Тогда
\( \vec{AB} \cdot \vec{DC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 0^\circ = 36 \cdot 1 = 36 \).
Для векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{DA}\) угол между ними равен \(180^\circ\), так как они направлены в противоположные стороны, значит
\( \vec{BC} \cdot \vec{DA} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 180^\circ = 36 \cdot (-1) = -36 \).

Диагонали ромба пересекаются под углом \(60^\circ\), так как они делят угол при вершине \(B\) пополам. Значит угол между векторами \(\vec{DB}\) и \(\vec{DC}\) равен \(60^\circ\), и
\( \vec{DB} \cdot \vec{DC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \).
Аналогично угол между \(\vec{BD}\) и \(\vec{AD}\) равен \(60^\circ\), поэтому
\( \vec{BD} \cdot \vec{AD} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \).

Таким образом, с помощью знаний о свойствах ромба, углах и формулы скалярного произведения мы получили все необходимые значения.

Оцени решение