ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 588 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике ABC известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = 30^\circ\), \(CB = 2\) см. Найдите скалярное произведение векторов: 1) \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\); 2) \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\); 3) \(\vec{CB}\) и \(\vec{BA}\).
1) Угол между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{BC} \) равен \(90^\circ\), значит их скалярное произведение равно \(0\).
2) \( AB = \frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \), \( AC = AB \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \), тогда
\( \vec{AC} \cdot \vec{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot \cos 30^\circ = 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \).
3) \( AB = 4 \), угол \( \angle ABC = 180^\circ — 30^\circ — 90^\circ = 60^\circ \), угол между векторами \( \vec{CB} \) и \( \vec{BA} \) равен \(120^\circ\), значит
\( \vec{CB} \cdot \vec{BA} = 2 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4 \).
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), угол \(A\) равен \(30^\circ\), а длина стороны \(CB\) равна 2 см. Для начала определим длину гипотенузы \(AB\). В прямоугольном треугольнике синус угла \(A\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть \( \sin 30^\circ = \frac{CB}{AB} \). Подставляя известные значения, получаем уравнение \( \frac{1}{2} = \frac{2}{AB} \). Чтобы найти \(AB\), умножим обе части на \(AB\) и разделим на \( \frac{1}{2} \), получая \( AB = \frac{2}{\frac{1}{2}} \). Это равно \(4\), значит длина гипотенузы \(AB\) равна 4 см.
Теперь найдем длину второго катета \(AC\). Для этого используем косинус угла \(A\), который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \( \cos 30^\circ = \frac{AC}{AB} \). Известно, что \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а \(AB = 4\). Значит, \( AC = AB \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \). Таким образом, длина катета \(AC\) равна \(2\sqrt{3}\) см.
Рассмотрим теперь скалярные произведения векторов. Первое — \( \vec{AC} \cdot \vec{BC} \). Векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{BC} \) исходят из точки \(C\) и образуют угол \(90^\circ\), так как угол \(C\) прямой. Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними: \( \vec{AC} \cdot \vec{BC} = |AC| \cdot |BC| \cdot \cos 90^\circ \). Поскольку \( \cos 90^\circ = 0 \), произведение равно нулю. Это подтверждает, что векторы перпендикулярны.
Второе скалярное произведение — \( \vec{AC} \cdot \vec{AB} \). Угол между этими векторами равен углу при вершине \(A\), то есть \(30^\circ\). Значит, \( \vec{AC} \cdot \vec{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot \cos 30^\circ \). Подставим значения: \( 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). Упростим выражение: \( 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 \). Таким образом, скалярное произведение равно 12.
Третье скалярное произведение — \( \vec{CB} \cdot \vec{BA} \). Чтобы найти угол между этими векторами, найдем угол при вершине \(B\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), значит \( \angle B = 180^\circ — 30^\circ — 90^\circ = 60^\circ \). Векторы направлены так, что угол между ними равен \(180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\). Тогда скалярное произведение равно \( |CB| \cdot |BA| \cdot \cos 120^\circ = 2 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4 \). Отрицательное значение указывает на то, что векторы направлены в разные стороны под углом больше \(90^\circ\).
