ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 589 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите косинус угла между векторами \(\vec{a} (1; -2)\) и \(\vec{b} (2; -3)\).

Даны векторы \( \vec{a}(1; -2) \) и \( \vec{b}(2; -3) \).

Скалярное произведение: \( 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) = 2 + 6 = 8 \).

Длины векторов: \( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \), \( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

Косинус угла: \( \cos \alpha = \frac{8}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{65}} \).

Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{65} \): \( \cos \alpha = \frac{8 \sqrt{65}}{65} \).

Даны векторы \( \vec{a} = (1; -2) \) и \( \vec{b} = (2; -3) \).

Сначала найдём скалярное произведение этих векторов по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \). Подставляем значения: \( 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) = 2 + 6 = 8 \).

Далее вычислим длины (модули) векторов по формуле \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \) и \( |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \). Для вектора \( \vec{a} \) это будет \( \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \). Для вектора \( \vec{b} \) получаем \( \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

Теперь найдём косинус угла между векторами по формуле \( \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \). Подставляем найденные значения: \( \cos \alpha = \frac{8}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{65}} \).

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{65} \). Получим: \( \cos \alpha = \frac{8 \sqrt{65}}{65} \).