ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 59 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны параллелограмма равны 11 см и 23 см, а его диагонали относятся как 2 : 3. Найдите диагонали параллелограмма.

Дано: \(AB = 11\), \(AD = 23\), \(BD : AC = 2 : 3\).

В параллелограмме \(BC = AD = 23\), угол \(B = 180^\circ — \angle A\), тогда \(\cos \angle B = — \cos \angle A\).

Для диагонали \(BD\): \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\),

\(BD^2 = 11^2 + 23^2 — 2 \cdot 11 \cdot 23 \cdot \cos \angle A\),

\(BD^2 = 121 + 529 — 506 \cos \angle A\),

\(BD^2 = 650 — 506 \cos \angle A\),

отсюда \(\cos \angle A = \frac{650 — BD^2}{506}\).

Для диагонали \(AC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\),

\(AC^2 = 121 + 529 — 2 \cdot 11 \cdot 23 \cdot (-\cos \angle A)\),

\(AC^2 = 650 + 506 \cos \angle A\),

подставим \(\cos \angle A\):

\(AC^2 = 650 + 506 \cdot \frac{650 — BD^2}{506} = 650 + 650 — BD^2 = 1300 — BD^2\).

Из условия: \(\frac{BD}{AC} = \frac{2}{3}\), значит \(AC = \frac{3}{2} BD\).

Подставим в уравнение для \(AC^2\):

\(\left(\frac{3}{2} BD\right)^2 = 1300 — BD^2\),

\(\frac{9}{4} BD^2 = 1300 — BD^2\),

\(\frac{9}{4} BD^2 + BD^2 = 1300\),

\(\frac{9}{4} BD^2 + \frac{4}{4} BD^2 = 1300\),

\(\frac{13}{4} BD^2 = 1300\),

\(BD^2 = \frac{1300 \cdot 4}{13} = 400\),

\(BD = 20\).

Тогда \(AC = \frac{3}{2} \cdot 20 = 30\).

Ответ: \(BD = 20\) см, \(AC = 30\) см.

В параллелограмме \(ABCD\) нам даны длины сторон \(AB = 11\) см и \(AD = 23\) см. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то \(BC = AD = 23\) см и \(DC = AB = 11\) см. Это важное свойство позволяет нам использовать эти значения в расчетах диагоналей. В параллелограмме углы при вершинах \(A\) и \(B\) являются смежными, то есть их сумма равна \(180^\circ\). Следовательно, угол \(B\) можно выразить как \(180^\circ — \angle A\), а косинус угла \(B\) будет равен отрицательному косинусу угла \(A\), то есть \(\cos \angle B = — \cos \angle A\).

Для нахождения длины диагонали \(BD\) воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике \(ABD\). Теорема косинусов говорит, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для диагонали \(BD\) это записывается как \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\). Подставим известные значения: \(BD^2 = 11^2 + 23^2 — 2 \cdot 11 \cdot 23 \cdot \cos \angle A\). Вычислим квадраты: \(11^2 = 121\), \(23^2 = 529\), произведение \(2 \cdot 11 \cdot 23 = 506\). Таким образом, \(BD^2 = 121 + 529 — 506 \cos \angle A = 650 — 506 \cos \angle A\). Отсюда выразим \(\cos \angle A\): \(\cos \angle A = \frac{650 — BD^2}{506}\).

Теперь рассмотрим диагональ \(AC\). В треугольнике \(ABC\) также применим теорему косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Подставим известные значения: \(AC^2 = 11^2 + 23^2 — 2 \cdot 11 \cdot 23 \cdot \cos \angle B\). Так как \(\cos \angle B = — \cos \angle A\), то \(AC^2 = 121 + 529 + 506 \cos \angle A = 650 + 506 \cos \angle A\). Подставим выражение для \(\cos \angle A\) из предыдущего шага: \(AC^2 = 650 + 506 \cdot \frac{650 — BD^2}{506} = 650 + 650 — BD^2 = 1300 — BD^2\).

Из условия задачи известно, что отношение диагоналей равно \(BD : AC = 2 : 3\). Это значит, что \(\frac{BD}{AC} = \frac{2}{3}\), откуда \(AC = \frac{3}{2} BD\). Подставим это выражение в уравнение для \(AC^2\): \(\left(\frac{3}{2} BD\right)^2 = 1300 — BD^2\). Возведем в квадрат: \(\frac{9}{4} BD^2 = 1300 — BD^2\). Перенесем все члены в одну сторону: \(\frac{9}{4} BD^2 + BD^2 = 1300\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{9}{4} BD^2 + \frac{4}{4} BD^2 = \frac{13}{4} BD^2 = 1300\). Умножим обе части на 4: \(13 BD^2 = 5200\), разделим на 13: \(BD^2 = \frac{5200}{13} = 400\). Извлечем корень: \(BD = \sqrt{400} = 20\) см.

Теперь найдем длину диагонали \(AC\), используя найденное значение \(BD\): \(AC = \frac{3}{2} \cdot 20 = 30\) см. Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны \(BD = 20\) см и \(AC = 30\) см.