ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 590 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что скалярное произведение векторов является: 1) положительным числом; 2) отрицательным числом. Определите вид угла между векторами.

Скалярное произведение векторов: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) \).

1) Если \( \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \), тогда \( \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) < 0 \), \( 90^\circ < \angle (\vec{a}, \vec{b}) < 180^\circ \). Ответ: тупой. 2) Если \( \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \), тогда \( \cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) > 0 \), \( 0^\circ < \angle (\vec{a}, \vec{b}) < 90^\circ \). Ответ: острый.

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \), где \( \theta \) — угол между векторами.

Если скалярное произведение отрицательное, то \( \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \). Значит, \( |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta < 0 \). Так как длины векторов положительны, это возможно только если \( \cos \theta < 0 \).

Косинус отрицателен, когда угол \( \theta \) лежит в интервале от \( 90^\circ \) до \( 180^\circ \). Значит, угол между векторами тупой.

Если скалярное произведение положительное, то \( \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \). Значит, \( |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta > 0 \). Поскольку длины векторов положительны, значит \( \cos \theta > 0 \).

Косинус положителен, когда угол \( \theta \) лежит в интервале от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Значит, угол между векторами острый.

Итог: если \( \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \), то угол тупой; если \( \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \), то угол острый.