ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 592 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В равностороннем треугольнике ABC, сторона которого равна 1, медианы \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке M. Вычислите:

1) \(\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}\); 2) \(\vec{BM} \cdot \vec{MA_1}\).

Краткий ответ:

Дано: правильный треугольник \(ABC\), \(AB = BC = AC = 1\), \(AA_1\) и \(BB_1\) — медианы, \(M\) — точка пересечения медиан.

1) Угол между медианами \( \angle A_1MB_1 = \frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ \).

Длина медианы \(AA_1 = BB_1 = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Скалярное произведение:
\( \vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 120^\circ = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8} \).

Ответ: \(-\frac{3}{8}\).

2) \(BM = \frac{2}{3} BB_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\),
\(MA_1 = \frac{1}{3} AA_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}\).

Скалярное произведение:
\(\vec{BM} \cdot \vec{MA_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \cos 120^\circ = \frac{3}{18} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{12}\).

Ответ: \(-\frac{1}{12}\).

Подробный ответ:

Дан правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = BC = AC = 1\). Медианы \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(M\).

Сначала найдём длину медианы. Медиана в равностороннем треугольнике равна длине отрезка, проведённого из вершины к середине противоположной стороны. Так как сторона равна 1, половина стороны будет \(\frac{1}{2}\). По теореме Пифагора длина медианы \(AA_1\) равна \( \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Точка пересечения медиан \(M\) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, \(BM = \frac{2}{3} BB_1\), а \(MA_1 = \frac{1}{3} AA_1\).

Угол между медианами \(AA_1\) и \(BB_1\) равен \(120^\circ\), так как угол между медианами в правильном треугольнике равен третьей части полного угла, то есть \(\frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ\).

Для вычисления скалярного произведения векторов \( \vec{AA_1} \) и \( \vec{BB_1} \) используем формулу:
\( \vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = |AA_1| \cdot |BB_1| \cdot \cos \angle (AA_1, BB_1) \).

Подставляем значения:
\( |AA_1| = |BB_1| = \frac{\sqrt{3}}{2} \),
\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\).

Получаем:
\( \vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8} \).

Теперь вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{BM} \) и \( \vec{MA_1} \).

Длины отрезков:
\( BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \),
\( MA_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} \).

Угол между этими векторами такой же, как и между медианами, то есть \(120^\circ\).

Используем формулу скалярного произведения:
\( \vec{BM} \cdot \vec{MA_1} = BM \cdot MA_1 \cdot \cos 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{18} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{12} \).

Ответы:
\( \vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = -\frac{3}{8} \),
\( \vec{BM} \cdot \vec{MA_1} = -\frac{1}{12} \).

Оцени решение