ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 593 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Пусть точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, сторона которого равна 1. Вычислите:

1) \(\vec{BA} \cdot \vec{CD}\); 2) \(\vec{AD} \cdot \vec{CD}\); 3) \(\vec{AO} \cdot \vec{ED}\); 4) \(\vec{AC} \cdot \vec{CD}\).

Краткий ответ:

1) \( \vec{BA} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)

2) \( \vec{AD} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \)

3) \( \vec{AO} \cdot \vec{ED} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)

4) \( \vec{AC} \cdot \vec{CD} = |AC| \cdot 1 \cdot \cos 90^\circ = 0 \)

Подробный ответ:

В правильном шестиугольнике все стороны равны 1, то есть \( AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1 \).

1) Рассмотрим векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{CD} \). Длина каждого из них равна 1. Угол между ними равен 60 градусам, так как смежные стороны правильного шестиугольника образуют угол 120 градусов, а эти векторы направлены под углом 60 градусов. Скалярное произведение равно произведению длин на косинус угла между ними, то есть \( \vec{BA} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

2) Рассмотрим векторы \( \vec{AD} \) и \( \vec{CD} \). Длина вектора \( \vec{AD} \) равна 2, так как \( A \) и \( D \) — вершины, разделённые двумя сторонами. Длина \( \vec{CD} \) равна 1. Угол между ними равен 60 градусам. Тогда скалярное произведение будет \( \vec{AD} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).

3) Рассмотрим векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{ED} \). Центр \( O \) равномерно удалён от всех вершин, поэтому длина \( AO = 1 \), а длина \( ED = 1 \). Угол между ними равен 60 градусам. Тогда \( \vec{AO} \cdot \vec{ED} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

4) Рассмотрим векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{CD} \). Вектор \( \vec{AC} \) соединяет вершины, разделённые двумя сторонами, длина \( AC = 2 \). Вектор \( \vec{CD} \) имеет длину 1. Угол между ними равен 90 градусам, так как диагонали в правильном шестиугольнике перпендикулярны. Тогда скалярное произведение равно \( \vec{AC} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 90^\circ = 0 \).

Оцени решение