Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 594 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
При каком значении x векторы \(\vec{a} (3; x)\) и \(\vec{b} (1; 9)\) перпендикулярны?
Даны векторы \( \vec{a} = (3; x) \) и \( \vec{b} = (1; 9) \).
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + x \cdot 9 = 0 \)
Решаем уравнение:
\( 3 + 9x = 0 \)
\( 9x = -3 \)
\( x = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} \)
Ответ: \( -\frac{1}{3} \)
Для решения задачи о перпендикулярности векторов нам даны два вектора: \(\vec{d} = (3; x)\) и \(\vec{b} = (1; 9)\). Мы должны найти значение \(x\), при котором эти векторы перпендикулярны. Перпендикулярность векторов означает, что угол между ними составляет 90 градусов, и в этом случае их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение — это операция, которая для двух векторов в двумерном пространстве вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат. Таким образом, наша цель — составить уравнение на основе скалярного произведения и решить его относительно \(x\).
Скалярное произведение векторов \(\vec{d}\) и \(\vec{b}\) рассчитывается по формуле \(\vec{d} \cdot \vec{b} = d_1 \cdot b_1 + d_2 \cdot b_2\), где \(d_1, d_2\) — координаты вектора \(\vec{d}\), а \(b_1, b_2\) — координаты вектора \(\vec{b}\). Подставим значения: первая координата вектора \(\vec{d}\) равна 3, а вектора \(\vec{b}\) — 1; вторая координата вектора \(\vec{d}\) равна \(x\), а вектора \(\vec{b}\) — 9. Таким образом, скалярное произведение равно \(3 \cdot 1 + x \cdot 9\), что упрощается до \(3 + 9x\). Поскольку векторы перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю, то есть \(3 + 9x = 0\). Теперь мы имеем уравнение, которое нужно решить, чтобы найти \(x\).
Решим уравнение \(3 + 9x = 0\). Для этого сначала вычтем 3 из обеих сторон уравнения, чтобы изолировать член с \(x\): \(9x = -3\). Затем разделим обе стороны на 9, чтобы найти значение \(x\): \(x = \frac{-3}{9}\). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3, и получим \(x = \frac{-1}{3}\). Таким образом, значение \(x\), при котором векторы \(\vec{d} = (3; x)\) и \(\vec{b} = (1; 9)\) перпендикулярны, равно \(\frac{-1}{3}\). Чтобы убедиться в правильности решения, можно подставить это значение обратно в скалярное произведение: \(3 \cdot 1 + \left(\frac{-1}{3}\right) \cdot 9 = 3 + (-3) = 0\), что подтверждает, что скалярное произведение равно нулю, и векторы действительно перпендикулярны. Этот результат показывает, что мы правильно определили условие перпендикулярности и решили уравнение.
Важно отметить, что скалярное произведение — это не только инструмент для проверки перпендикулярности, но и важная операция в векторной алгебре, которая используется в различных областях, таких как физика и инженерия. В данном случае мы рассматриваем векторы в двумерном пространстве, но концепция скалярного произведения легко обобщается на пространства любой размерности. Если бы у нас были векторы с большим количеством координат, мы бы просто добавили произведения соответствующих компонент в сумму. В нашей задаче, однако, всё ограничено двумя координатами, что делает вычисления простыми и наглядными. Также стоит упомянуть, что перпендикулярность векторов имеет геометрический смысл: если представить векторы как направленные отрезки, исходящие из одной точки, то при \(x = \frac{-1}{3}\) они образуют прямой угол, что можно визуально проверить, построив их на координатной плоскости.
