ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 598 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях x угол между векторами \(\vec{a} (2; 5)\) и \(\vec{b} (x; 4)\): 1) острый; 2) тупой?

Даны векторы \(\vec{a}(2; 5)\) и \(\vec{b}(x; 4)\).

1) Угол острый:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot x + 5 \cdot 4 > 0\)
\(2x + 20 > 0\), значит \(2x > -20\), отсюда \(x > -10\).
Ответ: \((-10; +\infty)\).

2) Угол тупой:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot x + 5 \cdot 4 < 0\)
\(2x + 20 < 0\), значит \(2x < -20\), отсюда \(x < -10\).
Ответ: \((-\infty; -10)\).

Векторы \(\vec{a}(2; 5)\) и \(\vec{b}(x; 4)\) заданы координатами, и нам нужно определить, при каких значениях \(x\) угол между ними будет острым, а при каких — тупым. Чтобы понять это, вспомним, что угол между двумя векторами зависит от знака их скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_1; a_2)\) и \(\vec{b} = (b_1; b_2)\) вычисляется по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\). Подставим наши значения: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot x + 5 \cdot 4 = 2x + 20\).

Угол между векторами острый, если косинус этого угла положителен, а это значит, что скалярное произведение тоже положительно. Значит, нам нужно решить неравенство \(2x + 20 > 0\). Переносим 20 в другую сторону: \(2x > -20\). Делим обе части неравенства на 2 (поскольку 2 положительно, знак не меняется): \(x > -10\). Это означает, что при всех значениях \(x\), больших чем \(-10\), угол между векторами будет острым. Например, если \(x = 0\), то скалярное произведение равно \(2 \cdot 0 + 20 = 20 > 0\), значит угол острый.

С другой стороны, угол между векторами тупой, если косинус угла отрицателен, то есть скалярное произведение отрицательно. Тогда решаем неравенство \(2x + 20 < 0\). Переносим 20 в другую сторону: \(2x < -20\). Делим обе части на 2: \(x < -10\). Это значит, что при всех значениях \(x\), меньших чем \(-10\), угол между векторами будет тупым. Например, если \(x = -20\), то скалярное произведение будет \(2 \cdot (-20) + 20 = -40 + 20 = -20 < 0\), угол действительно тупой. Таким образом, мы получили точные границы для \(x\), при которых угол между векторами меняет свой характер.