ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 599 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты вектора \(\vec{b}\), коллинеарного вектору \(\vec{a} (3; -4)\), если \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -100\).

Даны векторы \(\vec{a} = (3, -4)\) и \(\vec{b} = (3k, -4k)\), так как они коллинеарны.

Скалярное произведение равно \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3k + (-4) \cdot (-4k) = 9k + 16k = 25k\).

По условию \(25k = -100\), значит \(k = \frac{-100}{25} = -4\).

Координаты вектора \(\vec{b}\) будут \(x = 3k = 3 \cdot (-4) = -12\), \(y = -4k = -4 \cdot (-4) = 16\).

Ответ: \(\vec{b} = (-12, 16)\).

Вектор \(\vec{a}\) задан координатами \((3, -4)\). В условии сказано, что вектор \(\vec{b}\) коллинеарен вектору \(\vec{a}\), то есть \(\vec{b}\) лежит на той же прямой, что и \(\vec{a}\), и его координаты можно выразить через координаты \(\vec{a}\) с помощью множителя \(k\). То есть \(\vec{b} = k \vec{a} = (3k, -4k)\), где \(k\) — некоторое число, которое нам нужно найти.

Для нахождения \(k\) воспользуемся скалярным произведением векторов. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле \(x_1 x_2 + y_1 y_2\). Подставим сюда координаты наших векторов: \(3 \cdot 3k + (-4) \cdot (-4k) = 9k + 16k = 25k\). По условию задачи скалярное произведение равно \(-100\), значит уравнение принимает вид \(25k = -100\).

Решим это уравнение: чтобы найти \(k\), нужно разделить обе части равенства на 25, получаем \(k = \frac{-100}{25} = -4\). Теперь мы знаем точное значение множителя \(k\), и можем найти координаты вектора \(\vec{b}\). Подставим \(k\) в выражение \(\vec{b} = (3k, -4k)\), получаем \(x = 3 \cdot (-4) = -12\) и \(y = -4 \cdot (-4) = 16\). Таким образом, искомый вектор \(\vec{b}\) имеет координаты \((-12, 16)\).