ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равен синус угла, если его косинус равен:

1) 1;

2) 0?

Чему равен тангенс угла, если его котангенс равен:

1) 1;

2) \( -\frac{1}{3} \)?

Если \(\cos \theta = 1\), то \(\sin \theta = \pm \sqrt{1 — 1^2} = 0\).

Если \(\cos \theta = 0\), то \(\sin \theta = \pm \sqrt{1 — 0^2} = \pm 1\).

Если \(\cot \theta = 1\), то \(\tan \theta = \frac{1}{1} = 1\).

Если \(\cot \theta = -\frac{1}{3}\), то \(\tan \theta = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3\).

Для начала рассмотрим случай, когда \(\cos \theta = 1\). В тригонометрии существует важное тождество, которое связывает синус и косинус угла: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Это означает, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна единице. Подставим в это уравнение значение \(\cos \theta = 1\). Получим: \(\sin^2 \theta + 1^2 = 1\), то есть \(\sin^2 \theta + 1 = 1\). Чтобы найти \(\sin^2 \theta\), вычитаем 1 с обеих сторон уравнения: \(\sin^2 \theta = 0\). Из этого следует, что \(\sin \theta = \pm \sqrt{0} = 0\). Таким образом, если косинус равен 1, то синус обязательно равен нулю.

Теперь рассмотрим случай, когда \(\cos \theta = 0\). Снова используем то же тождество: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Подставляем \(\cos \theta = 0\), получаем: \(\sin^2 \theta + 0^2 = 1\), то есть \(\sin^2 \theta = 1\). Чтобы найти \(\sin \theta\), извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(\sin \theta = \pm \sqrt{1} = \pm 1\). Это означает, что при косинусе, равном нулю, синус может быть либо 1, либо -1. Здесь знак зависит от конкретного угла \(\theta\).

Рассмотрим теперь значения котангенса. По определению, котангенс угла \(\theta\) равен отношению косинуса к синусу, или, что эквивалентно, обратной величине тангенса: \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\). Если \(\cot \theta = 1\), то чтобы найти \(\tan \theta\), нужно взять обратное значение: \(\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{1}{1} = 1\). Аналогично, если \(\cot \theta = -\frac{1}{3}\), тогда \(\tan \theta = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3\). Значит, зная значение котангенса, мы можем легко найти тангенс, используя формулу обратного отношения.